基于Rayleigh—Sommerfeld积分的矢量衍射理论的适用范围

王晓琨+耿滔

摘要： 以径向偏振的Laguerre-Gaussian光束为例，探讨了基于Rayleigh-Sommerfeld积分的矢量衍射理论的适用范围。经与Richards-Wolf理论计算结果比较发现，在有效数值孔径小于0.4的情况下，Rayleigh-Sommerfeld理论可以适用，并可用于探讨小菲涅耳数的焦移问题。但对于紧聚焦大数值孔径系统，Rayleigh-Sommerfeld理论不再适用，因为这种理论低估了光波的衍射效应和矢量性，使得计算所得的聚焦光斑尺寸偏小。

关键词： 矢量衍射； Rayleigh-Sommerfeld积分； 径向偏振

中图分类号： O 436.1 文献标志码： A doi： 10.3969/j.issn.1005-5630.2017.03.005

Application of the vector diffraction theory based on

Rayleigh-Sommerfeld integration

WANG Xiaokun1，2，3， GENG Tao1，2，3

（1.Shanghai Key Laboratory of Modern Optical System， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China；

2.Engineering Research Center of Optical Instruments and Systems（MOE），University

of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China；

3.School of Optical-Electrical and Computer Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract：

The application of the vector diffraction theory based on Rayleigh-Sommerfeld integration has been studied using Laguerre-Gaussian beams with radial polarization.It is found that the Rayleigh-Sommerfeld vector diffraction theory is valid when the numerical aperture is less than 0.4 in comparison with the calculation results of Richards-Wolf vector diffraction theory.However，for short-focus large-numercial-aperture systems，the Rayleigh-Sommerfeld theory underestimates the diffraction effect and the vector property of light waves.Thus，the Rayleigh-Sommerfeld theory cannot be used for short-focus large-numercial-aperture systems.

Keywords： vector diffraction； Rayleigh-Sommerfeld integration； radial polarization

引 言

由于緊聚焦光束的焦斑很小及特殊的焦场特性，使得其在半导体光刻、显微成像、光学加工及微操纵等领域有极其重要的应用。因此紧聚焦光束的研究已经成为国际和国内热门的研究领域之一。

根据光学成像原理，小数值孔径系统满足傍轴近似条件，光束可用标量来表示，此时光束近场和远场复振幅之间的联系可以由傅里叶变换来描述。在这种情况下，通常使用菲涅耳衍射理论加上理想薄透镜的相位变换公式来分析成像系统。而对紧聚焦大数值孔径系统，傍轴近似条件不再适用，同时光束的矢量特性不能再被忽略。探讨矢量衍射的方法有很多，目前被广泛接受的理论是由Richards和Wolf提出的基于德拜近似的平面波角谱展开法[1-2]，但这种方法由于使用了德拜近似，因此对小菲涅耳数系统不适用，无法探讨焦移问题[3]。近年来，有学者提出了基于Rayleigh-Sommerfeld（R-S）积分的矢量衍射方法[4-5]，并认为这种方法可以研究离轴紧聚焦系统，且与Richards-Wolf（R-W）方法相比有两个显著的优点，一是可用于小菲涅耳数系统探讨焦移现象，二是这种方法可以获得紧聚焦条件下Laguerre-Gaussian光束低阶模式的解析解。

然而基于R-S积分的矢量衍射方法是否可以运用于紧聚焦系统，以及是否有使用限制、限制范围等问题目前还没有详细的研究报道。本文将对其进行研究，考虑到径向偏振是最适合产生超分辨光斑的偏振态[6-7]，本文将以径向偏振光为例，探讨R-S理论的使用范围。

1 矢量衍射理论

在R-W理论的框架下，当入射光为径向偏振时，经理想透镜聚焦后的电场分布可以表示为[8]

式中：ρ、φ、z分别为衍射场的径向、角向和纵向的坐标；α为最大半孔径，α=arcsin（NA），NA为透镜的数值孔径；θ为孔径角；k为波矢，且k=2πλ；A为常系数；Jm为m阶贝塞尔函数；l0（θ）为入射光的振幅分布。在本文中取最低阶的Laguerre-Gaussian光束，由此得

式中：C为常系数；w0为光束的束腰半径；f为透镜焦距。为了获得式（1），推导过程中使用了德拜近似条件，即faλ和a2/（λf）1。

考虑R-S理论，使用振幅分布与式（2）相同的径向偏振光为入射光时，聚焦后的电场分布可表示为[9]

式中：E0为常系数；γ=1/w20+ik/（2f）；q=ξ-ik/（2γ）；ξ=（z+f）2+ρ2。为了获得解析表达式（3），推导过程中忽略了透镜孔径的影响，因此为了将两种理论计算结果放在同一条件下比较，式（1）中的α取为π/2，即透镜的数值孔径取为1。考虑到透镜的有效孔径取决于入射光斑的实际尺寸，可以将透镜的实际有效数值孔径定义为

2 模拟结果及讨论

我们利用模拟软件MATLAB进行计算模拟。先考虑小菲涅耳数系统，以氦氖激光为入射光源，波长λ=632.8 nm，入射光的束腰半径w0=50 μm，透镜焦距f=10 mm，此时菲涅耳数N≈0.4，有效数值孔径NAeff=0.005。图1（a）给出了使用两种方法计算的光轴（z轴）上的总光强分布。从图中可以看出：RS理论的计算结果出现了明显的焦移现象，光强最强的位置向透镜方向移动；而RW理论由于使用了德拜近似，光强最大值始终出现在几何焦点位置（z=f），无法探讨焦移现象。因此对于小菲涅耳数系统，由于不满足德拜近似条件，RW理论不能给出正确的结果。其他计算参数保持不变，图1（b）给出了w0=1 mm时的计算结果。此时菲涅耳数N≈158，有效数值孔径NAeff=0.100。在这种情况下，菲涅耳数远远大于1，焦移现象消失，满足德拜近似条件，RW理论可以给出正确的结果，此时两种理论的计算结果吻合得很好。

接下来比较两种理论在不同有效数值孔径NAeff下的计算结果，以下的计算保持波长λ=632.8 nm和w0=1 mm不变。图2（a），（b）和（c）分别给出了NAeff=0.2时，使用两种理论计算的焦平面上沿x轴方向的总光强、径向分量和纵向分量光强分布（I总=I径向+I纵向），计算结果相对总光强的最大值做了归一化处理。从图中可以看出：由于偏振奇点的存在，径向分量光强分布为中空的暗焦斑；在低有效数值孔径的情况下，纵向分量光强所占总光强的比例远小于径向分量光强，因此总光强也呈现出中空的分布；在NAeff=0.2时，两种理论的计算结果吻合得很好，这说明在数值孔径较小的系统中，这两种理论都适用。

图3给出了NAeff=0.4时的计算结果，随着有效数值孔径的增大，聚焦光斑尺寸减小，纵向分量光强所占总光强的比例增加，此时两种理论的计算结果开始出现明显的差别。RS理论计算的聚焦光斑仍呈现出部分中空结构，而RW理论的计算结果显示聚焦光斑已成为亮焦斑，中空结构消失。这是由于RW理论计算的纵向分量光强此时已占主导地位，而对于RS理论的计算结果来说，虽然纵向分量光强所占总光强的比例有所增加，但还不占主导地位，因此总光强仍出现了中空结构。由此可见，相对于RW理论，RS理论对纵向分量的地位估计不足。

图4给出了NAeff=0.9时的计算结果，这时随着有效数值孔径的进一步增大，大部分光强集中到纵向分量上。比较两种理论的计算结果，可以发现RS理论计算的径向分量和纵向分量的光斑尺寸都明显小于RW理论的计算结果，导致聚焦光斑整体尺寸较小。由于数值孔径接近于1，RW理论计算的纵向分量出现了明显的旁瓣，这是由衍射造成的，并很难消除，而RS理论计算的纵向分量其旁瓣几乎可以忽略。

通过上述比较可以发现，这两种理论在有效数值孔径为0.4左右时就出现了明显的差异，而且随着有效数值孔径的增大，差异越来越大。究其原因，这是由于RS理论虽然是离轴矢量理论，但在推导过程中使用了两个近似[9]，一是使用了标量理论中傍軸近似条件下的理想薄透镜的相位变换关系，二是使用了弱离轴近似关系

正是这两个近似的使用使得RS理论对光波的衍射效应和矢量性估计不足，导致了纵向分量的比例偏低，聚焦光斑尺寸偏小且几乎无旁瓣出现等现象。因此，RS理论虽然可以得到聚焦电场的各方向分量，符合矢量理论，但不能用于大数值孔径的紧聚焦系统。但是这种方法还是要优于标量理论，因为其可以讨论偏振态对聚焦光场的影响。

3 结 论

通过与RW矢量衍射理论的计算结果比较，本文发现RS理论虽然是矢量衍射理论，但只能适用于有效数值孔径小于0.4的系统。这是由于这种理论在推导过程中使用了标量衍射的傍轴近似条件，使得其在数值孔径较大的系统中对光波的衍射效应和矢量性估计不足，计算所得的聚焦光斑尺寸偏小。因此，在探讨矢量光的低数值孔径聚焦问题时，可以使用该方法，其可以获得解析解，便于分析讨论和计算，且能解释焦移现象，但对于紧聚焦大数值孔径系统，这种方法是不适用的。

参考文献：

[1] RICHARDS B，WOLF E.Electromagnetic diffraction in optical systems.II.structure of the image field in an aplanatic system[J].Proceedings of the Royal Society A：Mathematical，Physical and Engineering Sciences，1959，253（1274）：358379.

[2] WOLF E.Electromagnetic diffraction in optical systems.I.an integral representation of the image field[J].Proceedings of the Royal Society A：Mathematical，Physical and Engineering Sciences，1959，253（1274）：349357.

[3] SHEPPARDC J R.Validity of the debye approximation[J].Optics Letters，2000，25（22）：16601662.

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