三部图网络上的媒介传染病动力学

王玲娜，王领弟，傅新楚

(1.上海大学理学院, 上海 200444;2.河北省肃宁县疾病控制中心, 河北 肃宁 062350)

三部图网络上的媒介传染病动力学

王玲娜1，王领弟2，傅新楚1

(1.上海大学理学院, 上海 200444;2.河北省肃宁县疾病控制中心, 河北 肃宁 062350)

很多媒介传染病在人类、媒介和动物3个种群中传播, 针对这类传染病提出三部图网络。 通过数学分析，发现三部图网络上模型的基本再生数不仅与二阶矩和平均度的比值有关还与平均度有关, 这与二部图网络上的结论有本质区别。 通过数值模拟,还发现：三部图网络比二部图网络更有利于疾病的传播; 在同样的接触模式下, 4个交叉传染率对基本再生数有同样的影响; 传染病在三个子网络上同时存在或同时消亡。

三部图网络；媒介传染病；基本再生数

0 引言

媒介传染病是指以某种生物载体为媒介并通过媒介来传播的传染性疾病。 媒介分为虫媒和动物媒介，常见的虫媒有蚊子、苍蝇、扁虱等，常见的动物媒介有水生软体动物和一些野生动物或饲养动物。 疟疾就是一种典型的媒介传染病，它的传播媒介是疟蚊。 当蚊子叮咬染病者后，蚊子体内就有可能携带传染病毒，携带病毒的蚊子再去叮咬易感者时，易感者可能被感染。 随着人类医学水平的不断进步，感染疟疾的人数已经越来越少，然而在拉丁美洲、非洲、和东南亚的一些地区，仍有很多人感染疟疾。 莱姆病是一种以蜱为媒介的自然疫源性人畜共患传染病。 莱姆病主要分布于美国、欧洲和亚洲，具有分布广、传播快、致残率高等特点，严重威胁着人类的健康，已经引起了全球的广泛关注。

目前对媒介传染病的研究已有一定进展[1-9]。 1979年，Cooke首次建立了媒介传染病的动力学模型[1]，并对模型进行了稳定性分析，此模型是不考虑网络结构的传统模型。 2008年，Shi等[8]建立了复杂网络上的媒介传染病SIS模型：

很多媒介传染病在人类和动物中传播，比如疟疾、莱姆病等等。 2015年，祝光湖考虑了在3个种群(人类、媒介和动物)中传播的媒介传染病传播动力学，建立了传染病模型，并讨论了无病平衡点和地方病平衡点的稳定性[9]。 数学模型为

祝光湖的上述模型假设人类和动物中的个体除了可以被染病媒介传染，还可以被染病个体传染[9]。 但事实上，对于很多媒介传染病，人和人以及动物和动物之间不会直接传染，它们只能通过媒介传染，例如疟疾、莱姆病等等。 也就是说人类与媒介以及动物与媒介之间没有内部传染只有交叉传染。 针对在人和动物中传播的媒介传染病的这一特征，我们提出三部图网络，三部图网络能够很好地表示这类传染病的传播。

在文章[10]中， 作者用二部图网络研究了媒介传疾病的传播， 二部图网络只能涉及到两个种群。对于很多在人和动物中传播的媒介传染病，涉及到人、媒介和动物3个种群，对于这类传染病，显然我们采用的三部图网络更能准确地描述疾病的传播。

1 模型建立

首先建立一个三部图网络, 整个网络由3个子网A, B, C组成。 每个子网中的节点代表这个子网中的个体。 子网的个体之间没有内部连接, 只有交叉连接。 也就是说, 子网A和C中的节点只能与子网B相连，因此只有一种类型的度, 而子网B中的节点不仅可以与子网A相连还可以与子网C相连，因此有两种类型的度。 三部图网络的结构见图1。

三部图网络可以表示很多媒介传染病, 例如登革热、疟疾、乙脑、莱姆病等等。 子网A, B, C分别表示人、媒介和动物。 登革热、疟疾和乙脑的传播媒介是蚊子, 而莱姆病的传播媒介是蜱虫。

本文在三部图网络上考虑SIS模型。 三部图网络上，用度j表示子网A和C中的节点有j条边和子网B相连。 度(i,k)表示子网B中的节点有i条边和子网A相连,k条边和子网C相连。 (i,·)表示子网B中的节点有i条边和子网A相连, 任意条边和子网C相连。 同样, (·,k)表示子网B中的节点有k条边和子网C相连, 任意条边和子网A相连。 其他参数见表1。

根据表1, 易得子网A, B, C上的易感节点数、染病节点数和所有节点数分别是

子网A,B,C的度分布分别是

边界度分布为

平均度(φ=1)和度的二阶矩(φ=2) 是

图1 三部图网络Fig.1 Tripartite networks 表1 三部图网络参数定义Tab.1 Definition of tripartite networks parameters

参数定义(X=A或C)NXj子网X上度为j的节点数SXj(IXj)子网X上度为j的易感(染病)节点数NBi,k子网B上度为(i,k)的节点数SBi,k(IBi,k)子网B上度为(i,k)的易感(染病)节点数n12(n21)子网A(B)中节点连接子网B(A)的最大度n32(n23)子网C(B)中节点连接子网B(C)的最大度PX(j)子网X上任取一个度为j的节点的概率PB(i,k)子网B上任取一个度为(i,k)的节点的概率12(21)子网A(B)中节点与子网B(A)相连的平均度32(23)子网C(B)中节点与子网B(C)相连的平均度

NA〈k〉12=NB〈k〉21,NB〈k〉23=NC〈k〉32

(1)

做如下假设： 如果子网A(B)中的一个易感节点通过一条边与子网B(A)中染病节点相连, 那么这个易感节点被感染变成染病节点的概率为λ21(λ12); 如果子网B(C)中的一个易感节点通过一条边与子网C(B)中染病节点相连, 那么这个易感节点被感染变成染病节点的概率为λ32(λ23)。 而且, 子网A, B, C中的染病节点分别以恢复率μ1,μ2,μ3变成易感节点。

按照上面的假设, 我们建立一个网络平均场传播模型, 它由((n12+1)+(n21+1)(n23+1)+(n32+1))个常微分方程组成。

(2)

其中，f=0,1,…,n12,g=0,1,…,n21,l=0,1,…,n23,m=0,1,…,n32。

同样有

因此模型(2)简化为

(3)

其中，f=0,1,…,n12,g=0,1,…,n21,l=0,1,…,n23,m=0,1,…,n32。

当n23=n32=0时, 三部图网络简化为二部图网络, 并且模型(3)简化为 [11]中的模型。

2 数学分析

(4)

显然模型(3) 有一个无病平衡点E0, 使得yi=0,i=1,…,n。

可以通过再生矩阵Γ=FV-1的方法计算模型的基本再生数R0[12]。 其中 矩阵F为新的感染率, 矩阵V为个体的转移率。 显然V是一个对角矩阵, 其中当i=1,…,(n12+1)时vii=μ1,当i=(n12+1)+1,…,(n12+1)+(n21+1)(n23+1)时vii=μ2, 当i=(n12+1)+(n21+1)(n23+1)+1,…,n时vii=μ3。F=D(f(0))+V。 通过相似变换矩阵Γ可以简化为

假设联合度分布是独立的, 即

PB(i,k)=PB(i,·)PB(·,k)

那么矩阵Γ可以进一步简化为

(5)

模型(3) 的基本再生数是R0=ρ(Γ), 其中ρ(Γ)是Γ的谱半径。 易得

(6)

其中,

通过R0的表达式(6),可以得出以下结论:

3) 三部图网络相比二部图网络更容易引起疾病的传播。

由 [12] 中的定理2, 容易得到下面的结论。

定理1 如果R0<1, 那么模型(3)的无病平衡点E0=(0,0,…,0)是局部渐近稳定的; 如果R0>1,E0是不稳定的。

接下来考虑模型(3)的全局稳定性。

定理2 对模型 (3),Ω{y={y1,y2,…,yn}:0≤yi≤1,i=1,2,…,n}是正向不变集。

由 [13]中的推论3.2, 我们讨论无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性。[13]中的推论3.2如下。

(2) 如果s(Df(0))>0, 那么或者

定理 3 对于模型(3), 如果R0≤1, 那么无病平衡点E0在Ω上是全局渐近稳定的; 如果R0>1, 模型(3)有唯一的地方病平衡点E1, 并且在Ω-{0}上是全局渐近稳定的。

定理3的生物学意义为: 当R0≤1时, 不管疾病爆发的多么严重, 它都将最终消亡, 当R0>1时, 疾病将在网络中一直存在形成地方病。 这说明R0是准确的传播阈值, 通常R0越大, 疾病越难控制。

3 数值模拟

为了验证上面的理论分析结果以及进一步讨论模型的传播动力学, 我们在不同的网络结构上进行数值模拟。

首先,验证由(6)得到的基本再生数R0和数值模拟结果一致。

从图2a可以看出疾病最终消亡, 这表明R0<1; 从图2b可以看出疾病一直存在最终形成地方病, 这表明R0>1。 对应于图2a和2b, 由(6)得到的基本再生数R0分别是0.44和1.32。 这表明通过数学分析由(6)得到的R0和由模型(3)得出的数值模拟结果一致。

图2 平均感染密度随时间的变化图Fig.2 The time evolution of the infected densities

然后,研究在不同的网络结构上传染率和网络尺寸对基本再生数的影响。 其中,NA=NB=NC=1 000,k0=1,γ=2.7,μ1=μ2=μ3=1。 对应于绿色▽, 蓝色+ 和红色*,x轴分别是λ21,λ12和λ23。 当一个传染率变化时,其他传染率固定为 0.1, 并且所有的接触模式都有相同的平均度。

图3 不同的网络结构下, 基本再生数随传染率的变化Fig.3 Dependence of the basic reproduction number on the infection rotes for different network structures

注：所有传染率都是0.2, 其他参数取值与图3相同。图4 不同的网络结构下, 基本再生数随网络尺寸的变化Fig.4 Dependence of the basic reproduction number on the network size for different network structures

由图3和图4可以看出： 1) 在同样的接触模式下, 感染率λ12和λ21对R0有同样的影响。 由于模型的对称性,可以得出4个传染率λ12,λ21,λ23和λ32对R0影响相同; 2) 基本再生数R0在无标度的接触模式下随着传染率的增大而迅速增加, 这说明无标度的接触模式更容易引起疾病的爆发; 3) AB,BA和BC,CB中只要有一组接触模式是无标度, 那么随着网络尺寸的增大, 基本再生数迅速增加。

最后我们考虑传染率和接触模式对最终平均感染密度ρA,ρB和ρC的影响。 其中,NA=NB=NC=1 000,k0=1,γ=2.7,μ1=μ2=μ3=1。 当一个传染率变化时, 其他传染率固定在0.2。 所有的接触模式都有相同的平均度。

由图5可以发现: 1) 无标度网络的接触模式比随机网络的接触模式导致更大的平均感染密度和更小的传播阈值。 2) 每个传染率在3个子网上的传播阈值相同, 这说明疾病要么在3个子网络上同时存在, 要么同时消亡。 3) 传染率λ12(λ21) 能导致最大的ρB(ρA), 较小的ρA(ρB)和最小的ρC。 4) 在同样的接触模式下, 传染率λ12和λ21有同样的传播阈值, 这验证了从图3和图4中得出的第一条结论。

图5 传染率和接触模式对最终平均感染密度的影响Fig.5 Dependence of the infected densities on the infection rates and the contact pattems

4 结论

我们研究了三部图网络上的疾病传播, 通过平均场方法, 建立了疾病传播模型, 计算了模型的基本再生数, 并证明了无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性。 通过数学分析和数值模拟方法, 我们得出了如下结果: 1) 三部图网络比二部图网络更有利于疾病的传播; 2) 无标度的接触模式更容易引起疾病的爆发; 3) 在同样的接触模式下, 4个传染率对R0有同样的影响; 4) 传染病在3个子网络上同时存在或同时消亡; 5) 传染率λ12能导致最大的ρB, 较小的ρA和最小的ρC。

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(责任编辑 耿金花)

Epidemic Dynamics of Vector-Borne Diseases on Tripartite Networks

WANG Lingna1, WANG Lingdi2, FU Xinchu1

(1.College of Sciences, Shanghai University, Shanghai 200444, China;2.Disease Control Center of Suning County, Hebei Province, Suning 062350, China)

In this paper, we study the epidemic dynamics on tripartite networks. Many vector-borne diseases spread among three populations (human beings, vectors and animals).In response to such diseases, we propose tripartite networks. Through theoretical analysis, we find the basic reproduction number of tripartite networks is not only relevant to the ratio between the second moment and the average degree, but also to the average degree, which is different with the result on bipartite networks in essence. Through numerical analysis, we also find that the diseases on the tripartite networks are easier to propagate than that on the bipartite networks; under the same contact patterns, four infection rates have the same effect on the basic reproduction number; the diseases exist or disappear on three subnetworks at the same time.

tripartite network; vector-borne disease; basic reproduction number

1672-3813(2017)02-0011-08；

10.13306/j.1672-3813.2017.02.002

2016-04-22；

2016-06-18

国家自然科学基金(11331009， 11572181)

王玲娜(1978-)，女，河北沧州人，博士研究生，主要研究方向为复杂网络上的传播动力学。

O29; N94

A