数学学习的错觉现象及其教学对策

古雯

摘 要：学习数学时，学生对抽象的概念、定理难以抓住本质，常常产生错觉，从而导致无法正确解决数学问题。为了克服错觉带来的负效应，本文对什么是“数学错觉”、数学错觉的分类以及教学对策进行阐述。

关键词：错觉；数学；教学

面对一道数学题，学生若无法正确求解题目，一方面是由于好的念头没有产生，毫无头绪；另一方面则是由于產生了错觉。因此笔者认为有必要研究数学学习中的错觉现象，并就此现象提出了一些个人见解。

1 何谓“数学错觉”

我们通常在知觉客观对象时，总是以过往的知识和经验去反映客观对象，由此形成了具有个人特点的主观印象。但是主观印象并不一定符合实际，我们把对客观事物的不正确的知觉称为错觉[1]。而数学错觉即在数学学习中，对数学对象（例如概念、定理、法则等）不正确的知觉。

2 数学错觉的分类

2.1 视觉性错觉

当人在观察物体时，由于客观因素的干扰或者自身的心理因素支配，对图形可能产生与客观事实不相符的错误的感觉[2]。视觉性错觉是错觉中最常见的情形。

2.2 定势性错觉

所谓定势性错觉，是指人们一旦形成某种定势，由于来不及适应外界情景的细微变化，常常产生错觉，从而妨碍对新问题的解决[3]。在数学学习中，由于大量训练，学生的认知结构中对特定的题型有着特定的方法和解题模式，因此遇到类似题型时，倾向于用原有的解题模式来套用于该题。

然而，定势性错觉不仅导致学生在解题中出现错误，而且对于新的定理、概念的学习也会造成负迁移。由于学生习惯于旧的思想方法，不能很好地运用数学思想方法和数学观念去实现旧知识向新知识的转化，难以抓住新知识的本质，从而影响数学学习的同化和顺应。例如，在对数运算的教学中，不少学生会出现形如lg（a+b）=lg a+lg b的公式，这是由于学生将此处的符号“lg”看成一个数参与运算，而学生前面已经学习过乘法分配律a（b+c）=ab+ac。根据巴甫洛夫的条件反射理论中关于泛化律的揭示中表明某一种条件反射一旦确立，就可以由类似于原来条件刺激的刺激引起。此时lg（a+b）类似于a（b+c）。在泛化律的作用下，容易引发错误的反应：“lg a+lg b”。

例1求过（0，1）的直线，使它与抛物线y2=2x仅有1个公共点。

错解：设所求直线为y=kx+1，联立

，消去y，可得 ，

∵直线与抛物线仅有一个公共点，∴△=0，故 。

∴所求直线为 ，即 。

分析：这里发生了3个错觉，①由于对公式的适用条件模糊，认为过（0，1）的直线一定能够表示为y=kx+1，遗漏了斜率不存在的情形；②由于定势思维，认为只有1个公共点等同于直线与抛物线相切，其实还有直线与抛物线对称轴平行的情形；③误以为 有1个实根就是“△=0”，实际上应分k=0，k≠0两种情况讨论。

2.3 停滞性错觉

当数学知识丰富拓展或题目信息条件有所变化时，思维仍停留在原来的基础，难以辨别前后情形的本质不同，思维跟不上从而导致的错觉称为停滞性错觉。

例2 关于x的一元二次方程

，方程存在整数根吗？若存在，求出m此时的范围。

错解：根据一元二次方程，求得

故

若方程有整数根，则△≥0且 是完全平方数

因为 不是完全平方式，所以不可能是完全平方数，即方程不存在整数根。

分析：在该题的解答中可以看出，学生没有理解完全平方式和完全平方数的不同，认为m2-4m-8不是完全平方式，故对于任意m∈Z，均不可能是完全平方数，心理上仍停滞在认为开的出来才是完全平方数。而事实上，若k=6，m2-4m-8=4是完全平方数。

3 教学对策

研究数学学习的错觉现象有两方面的意义，一是利用错觉，使其在教学活动中产生预期的心理效应；二是设法避免错觉带来的负面影响，使学生对数学对象的知觉尽可能符合客观实际。

3.1 利用错觉对策

1.设置“陷阱”，激发求知欲

根据学生的认知规律和认知经验，设置“陷阱”，使学生面对问题情境时容易产生错觉，此时可通过反问等方式，激化学生的认知矛盾，给学生制造心理上的缺口，从而使学生产生强烈的求知欲，迫切想要弥补其心理上的缺口，由“要我学”变为“我要学”，从而集中注意力进入新授环节，明显提高教学质量。

2.反思结果，提高思维的严谨性和创新性

在思维定势的作用下，学生容易陷入机械地套用解题模式，从而造成错误，甚至会出现与实际情形完全不符合的结果。此时学生会反思解题过程，发现问题。通过多次经验积累，学生会逐渐避免此类错觉，从而解题能力得到提升。另外，在这个过程中，学生会打破头脑中一些固有的思维顺序，明白要根据实际情形处理问题，从而更为灵活地运用数学知识。

3.2 克服错觉对策

1.概念教学不断深入，充分利用“变式教学”

课前充分了解学情，根据学生认知的心理特点设计概念教学的引入，关注学生的相关活动经验。更重要的是，应加强对概念的解剖分析，紧紧抓住关键，阐明概念的内涵和外延，让学生真正理解概念、定理的本质。而“变式教学”是突出概念本质属性的重要手段，即教师通过一系列的变式，不断变化非本质属性来突出本质属性，使学生对概念的理解更准确。因此，变式教学可以很大程度上辅助概念教学。

2.关注知识间的联系，加强对比练习

在学习新知识前，教学可以以新、旧知识的内在联系作为新知识的增长点，但由于有些数学概念之间联系紧密、形式相似，学生习惯于旧知识的思维方式，受到旧知识的束缚，造成新旧知识混淆，此时要加强对比练习，将新、旧知识的概念摆在一起，让学生去比较他们的不同之处，在比较中不断鉴别，从而明辨知识。

3.强调“眼见不一定为实”，多实验思考

视觉性错觉说明，有时观察得到的结论不一定正确，因此教师可在教学中多提供此类反例，从而帮助学生认识到，要对事物作出判断，仅仅靠观察是不准确的，必须基于对事物的观察、实验与思考。

参考文献

[1]何小亚.数学学与教的心理学[M].华南理工大学出版社.2011

[2]竹内龙人.大吃一惊！！眼见不为实[M].中国少年儿童出版社.2015

[3]尹道晨.数学解题中的错觉定势[J].济南教育学院学报.2002（10）