教学：走进数学知识的“内核”

李军

[摘 要]乘法分配律是运算律单元的教学重点。通过举例验证、观察比较、提出猜想、发现规律、引出规律，让学生感悟基本的推理、模型、化归等数学思想。在此基础上，教师要引导学生联系运算的意义、现实背景中的数量关系或几何图形，进行更加深入的思考，从而走进知识的“内核”。

[关键词]乘法分配律；数学思想；数学知识的内核

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）20-0006-02

【课前思考】

乘法分配律是学生在已经掌握了乘法交换律、结合律，并能初步应用这些定律进行一些简便计算的基础上进行学习的内容，它联系了乘法和加法两种运算，沟通了这两种运算之间的关系。乘法分配律是运算律单元的教学重点，教材是按照分析题意、列式解答、讲述思路、观察比较、总结规律等顺序呈现的。熟练掌握乘法分配律是进行简便计算的前提和依据，对提高学生的计算能力有着重要的作用。

人教版、苏教版、北师大版等教材，几乎都是从购物、贴瓷砖等生活问题中引入乘法分配律，在不完全归纳推理的基础上，引导学生通过比较逐步发现规律。大部分教师教学时都是从学生的生活入手，让学生在熟悉的情境中理解乘法分配律的生活意义，但有意义的教学不能止于此，更应该揭示乘法分配律的数学意义，搭建“生活数学”与“学科数学”之间的桥梁，让学生的学习触及数学的本质，走进知识的“内核”。因而，教师要准确把握运算律的本质及价值，强化乘法分配律的内在意义。这样，不仅有助于提高教学的针对性和有效性，而且有助于加深学生对运算本身的理解，帮助学生感悟蕴含在知识中的数学基本思想。

我遵循教材编写的特点，在充分吃透教材编写意图的基础上进行了适度的补充——除了引导学生进行举例验证之外，还让学生充分观察后提出猜想、发现规律。在此基础上，我还将运算的意义、现实背景中的数量关系或几何图形联系在一起，进一步凸显乘法分配律的合理性，引导学生展开更加深入的思考。这样的教学才是有意义的，才能触及知识的“内核”。

首先，在探索规律的过程中感受合情推理的价值。对于学生而言，运算律是抽象和概括一些等式的规律。从知识逻辑来说，运算律与相关运算的意义是相伴相生的。数学家在定义四则运算的同时需要思考“能否由定义出发合乎逻辑地推导出相应的运算律”。如果能把这个本质上属于演绎推理的过程，与小学数学通常采用的探索、发现过程结合起来，就可以让学生在探究新知的同时获得一种“顿悟”感，从而感受演绎推理思想的力量。

其次，在多元表征运算律的过程中感受简单的模型思想。在借助实例初步归纳出乘法分配律的基础上，重点是引导学生用合适的方式把自己发现的规律表示出来，这个过程也称为“表征运算律”。教师不能仅仅满足于让学生采用不完全归纳法发现规律，还要注重从生活表征到图形表征再到数学表征的抽象过程。一般来说，运算律表征的方式主要有三种：语言表征、图形表征和符号表征。其中，图形表征和符号表征具有初步数学建模的意味，经历这个过程有助于让学生初步感受模型思想与数形结合思想，体会不同数学表征方式的特点和价值，提高学生学习数学、应用数学的兴趣。

最后，在应用规律的过程中感受化歸思想。学生探究和发现乘法运算律，主要依靠合情推理，那么应用运算律进行一些简便计算，就是进行演绎推理，而简便计算的过程也体现了“等值变形”的化归思想。因此，教师不仅要重视引导学生分析、思考每一步运算的依据，让学生做到有根有据、有条有理地思考，而且要适当引导学生体会化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉的策略价值，感受化归思想。

【教学实录】

一、问题导入，引发思考

师：学校要组织运动会，各班同学也在积极备战、刻苦训练。看到这幅图，你能想到什么数学问题呢？请提出需要两步或两步以上计算的问题。

生1：四、五年级一共领了多少根跳绳？

生2：四年级比五年级多领了多少根跳绳？

生3：四、五年级一共有多少人？

师：我们先来解决生1和生2提出的问题。请列综合算式解答。

二、探究交流，提出猜想

1.交流：自由生长

生1：4×24+6×24=96+144=240（根）。（第一种方法）

生2：（4+6）×24=10×24=240（根）。（第二种方法）

生3：40×6+50×4=440（人）。

师：为什么对于第一个问题有两种不同的解法，对于第二个问题却只有一种解法？第一题的第一种方法和第二种方法是怎么得到的？

生4：第一种方法是分别求出四、五年级各领了多少根跳绳，再求两个年级一共领了多少根跳绳；第二种方法是先求出四、五年级一共有多少个班，再求两个年级一共领了多少根跳绳。

师：方法不同，得到的结果却相同，这可是殊途同归啊！既然结果相等，那这两个算式之间有什么关系呢？

生（齐）：相等。

师：等号两边的式子有什么联系呢？（板书：（4+6）×24=4×24+6×24）

生5：等号左边先算4+6的和，再算10个24是多少；等号右边是先算出4个24和6个24分别是多少，再求和，也是算10个24是多少。

2.举例：引发思考

师：请写出几个像这样的等式。

师：同学们举的例子各不相同，全部都要写在黑板上比较麻烦，有不相同的吗？你能不能写一个式子表示大家所举的具体例子？

师：看看这些式子，虽然数字各不相同，但仔细琢磨，这些看似不相同的式子，是随便写出来的吗？它们有什么相同之处，相同之处是什么呢？

生6：每个式子都有一个共同的因数。

师：观察得很仔细，一下子就抓住了问题的关键。这些式子之所以可以写成相等的形式，其真正原因就是有——相同的因数。

3.归纳：提出猜想

师：认真观察这些等式的左边和右边，再从左往右看，这几个等式有什么相同点？（出示小组学习的要求）

生7：左边是两个加数的和乘一个数，右边是先分开乘再相加。

师：“分开乘”什么意思？把谁分开了？

师（在学生交流的基础上出示：两个数的和与一个数相乘，可以把这两个数分别和这个数相乘，再相加）：这是数学中一条重要的规律，叫作“乘法分配律”。这个规律为什么叫作乘法分配律？你有什么高见？

三、多元表征，验证猜想

师：这样的规律是不是正确的呢？在我们以前的学习过程中有没有遇到类似的式子呢？你能不能试着通过举例、图示或者计算来验证这个规律？这样的规律还可以怎样来表示？想一想，写一写。

生1：举例，通过结果来验证。

生2：画图。

生3：计算。

师：我们是怎么算25×12的？（10+2）×25=10×25+2×25。其实，等式左边是10与2的和乘25，也就是求10个25，右边是10个25加上2个25，也是求10个25。

（板书：（10+2）个25，10个25，2个25。引导学生透过算式的外在形式关注算式的数学本质，帮助学生用乘法意义来解释乘法分配律）

四、巩固练习，应用猜想

习题1 “练一练”第1题：

①（42+35）×2 = 42×□+35×□；

②27×12+43×12 = （27+□）×□；

③15×26+15×14= □〇（□〇□）；

④72×（30+6）= □〇□〇□〇□ 。

师（针对第②题）：两个乘法中相同的乘数是几？是不是应该把相同的乘数放在括号外面？

师（小结）：虽然这些题目形式上不同，但实质上是一样的。大家不能仅仅关注形式，更多的是要思考本质的意义。

习题2 “练一练”第2、3、4题（略）。

习题3 四年级的活动区域是一个长22米、宽10米的长方形，五年级的活动区域是一個长18米、宽10米的长方形。求两个年级的活动面积一共是多少平方米。

习题4 练习十第6题：

（1）64×8+36×8，（64+36）×8；

（2）25×40+25×4，25×（40+4）。

观察这两组算式，想想每组中两个算式的结果是否相同？为什么？如果让你选择一组进行计算，你会选择哪个？为什么？

师（小结）：看来，学会了乘法分配律，我们还能对部分计算使用简便算法，使一些复杂的计算变得简单。

习题5 开学初，学校为了丰富大家的课间活动，购买了一批体育器材，看看是什么？（课件出示图片和信息：空竹每个17元，飞盘每个8元，铁环每个15元。）每种玩具都购买了60个，一共要花多少钱？

师：观察等式（17+8+15）×60=17×60 + 8×60+15×60，你有什么想告诉大家吗？

师（小结）：乘法分配律不仅可以是两个加数的和乘第三个数，还可以推广到3个加数的和，甚至可以是更多的加数！

师：刚刚我们就实际问题提出了很多的猜想（两个数拓展到三个及以上的数的和；加法拓展到减法；乘法拓展到除法），大家课后也可以试试用今天研究的方法，由一个特例得出多个例子，先通过观察和比较提出猜想，再去验证和应用猜想。这是我们数学学习常用的一种方法。

五、总结提升，发展猜想

师：在今天这节课上你收获了什么？从中你得到什么启发？面对熟悉的知识、情境、问题，很多时候我们可以试着往深处想一想“这些知识的背后，是不是蕴藏了一些规律？是不是隐藏了一些看不见的奥秘？”……多思考，多动脑，我们的思维会变得与众不同！

（责编 金 铃）