连续型随机变量的分布函数的计算方法

王仲梅,孟献青

(1.湖南商学院数学与统计学院，湖南长沙410000;2.山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009)

连续型随机变量的分布函数的计算方法

王仲梅1,孟献青2

(1.湖南商学院数学与统计学院，湖南长沙410000;2.山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009)

通过实例给出了如何用定义计算连续型随机变量的分布函数，并且给出了另外一种相对简单的求一维连续型随机变量的分布函数的方法。

连续型随机变量；分布函数；连续函数；概率密度函数

在概率统计中，对于连续型随机变量X，若已知概率密度 f(x)，求分布函数F(x)的公式很简单，即在用这个公式求分布函数的时候主要有两种情况[1-3]：第一种是 f(x)是非分段函数，例如标准正态分布这时候直接利用公式可以计算出F(x)=这种情况相对比较简单；第二种是 f(x)是分段函数，这类问题在本科学习阶段比较多，而且部分学生会觉得比较难。下面我们主要讨论 f(x)是分段函数的情形。

定义1设X是一个随机变量，x∈R，则称F(x)=P(X≤x)为随机变量X的分布函数。

由定义1，分布函数F(x)显然满足：

（1）单调不减，即若 x1,x2∈R ，且 x1≤x2，则F(x1)≤F(x2)；

（2）0≤F(x)≤1，且F(-∞)=0,F(+∞)=1 ；

下面我们讨论两种求解F(x)的方法：

方法1：定义法

定义2如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数 f(x)，对任意 x∈R有

解：根据分布函数的定义知，分布函数的定义域是R。 f(x)是个分段函数，它的分段点将数轴分成了四个区间，所以我们在每个区间上进行。

所以，随机变量X的分布函数

方法2：求 f(x)的一个原函数F(x)，

先给出下面两个简单的定理。……