一类非线性SEIRS传染病传播数学模型

王 婷，王 辉，胡志兴

(北京科技大学 数理学院，北京 100083)

一类非线性SEIRS传染病传播数学模型

王 婷，王 辉，胡志兴

(北京科技大学 数理学院，北京 100083)

研究了一类具有非线性发生率的易感者-暴露类-患病者-恢复者-易感者(SEIRS)传染病模型。利用Routh-Hurwitz判别法，分析了无病平衡点与地方病平衡点的局部渐近稳定性；采用Lyapunov-LaSalle不变原理，分析了无病平衡点的全局渐近稳定性；运用持久性理论证明了模型的持久性，并给出了地方病平衡点全局渐近稳定的猜想。最后通过数值模拟验证了结论与猜想。

无病平衡点；地方病平衡点；Lyapunov-LaSalle不变原理；Routh-Hurwitz判别法；基本再生数；非线性饱和发生率；持久性理论

0 引言

1 传染病模型的建立

建立以下易感者-暴露类-患病者-恢复者-易感者(susceptible-exposure-infected-recovery-susceptible，SEIRS)传染病模型：

(1)

其中：S(t)、E(t)、I(t)和R(t)分别为t时刻易感者、暴露类、患病者和恢复者人群的数量；M为初始人口规模；b为人均出生率；μ为自然死亡率；β为有效接触率；γ为免疫丧失率；σ为潜伏期个体变成患病者的概率；α为因病死亡率；τ为患病者恢复率；α1和α2为环境和心理等因素对于疾病的抑制作用因数；b、μ、σ和M为正数，其余参数非负。此外，本模型只考虑患病者具有传染性的情况。

规定在t时刻人口规模为N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+R(t)。t时刻总人口规模变化率为：

N′(t)=bM-μS(t)-μR(t)-μE(t)-(μ+α)I(t)=bM-μN(t)-αI(t)，

2 模型分析

3 无病平衡点P1和地方病平衡点的局部稳定性

命题1 R0≠1时，无病平衡点P1是局部渐近稳定的。

证明 模型(1)在无病平衡点P1处的特征方程为：

(λ+μ)(λ+μ+γ)(λ+μ+σ)(λ+μ+α+τ)(1-R0)=0。

因为R0≠1，所以可求得此时矩阵的特征值分别为λ1=-μ，λ2=-(σ+μ)，λ3=-(μ+α+τ)，λ4=-(μ+γ)。由于模型(1)中参数均为非负，所以所有特征值均具有负实部，故无病平衡点P1是局部渐近稳定的，命题1得证。……