一类食饵捕食者模型的分支分析

刘 永,赵维锐

(武汉理工大学 理学院，湖北 武汉 430070)

一类食饵捕食者模型的分支分析

刘 永,赵维锐

(武汉理工大学 理学院，湖北 武汉 430070)

针对食饵捕食者问题，研究了具有广义Holling IV型功能反应食饵捕食者模型。在适当的条件下，该模型可能具有一个退化的正平衡点和一个非退化的正平衡点。以描述捕食者变化的两个变量作为分支参数，进行分支分析。当参数发生变化时，在退化平衡点的附近该食饵捕食者系统产生了一个Bogdanov-Takens分支。利用标准型理论和隐函数定理，得到了Bogdanov-Takens分支中鞍结点分支曲线、Hopf 分支曲线和同宿轨道分支曲线的近似表达式。

Bogdanov-Takens分支；退化平衡点；Holling IV型功能反应；食饵捕食者模型

0 引言

食饵捕食者之间的动态关系一直是生物学和生物数学领域的一个重要课题，吸引了国内外很多学者的关注。文献[1-4]详细研究了如下形式的食饵捕食者系统：

(1)其中：x(t)和y(t)分别为食饵和捕食者在时刻t的种群密度；p(x)为功能反应函数；r为食饵的固有增长率；K为环境容量；s为捕食者的增长率；h为反应捕食者种内竞争的正常数。考虑到环境中随机因素的影响，文献[5]提出了具有时滞和随机项的食饵捕食者模型，并得到了系统全局稳定的条件。利用Euler-Maruyama方法可以得到随机种群模型的数值解，并且数值解均方收敛于解析解[6]。

本文研究了具有广义Holling IV型功能反应[7]的食饵捕食者模型，即：

(2)

其中：r,K,a,s,h为正常数；b为任意常数。在详细讨论之前，进行尺度放缩：

(3)

1 Bogdanov-Takens分支的存在性

(4)

其中：x∈(0,1)。注意到方程(4)是1个一元三次方程，在区间(0,1)可能有1个、2个或者3个正解与之对应，系统(3)可能有1个、2个或者3个正平衡点。……