二阶奇摄动滞后型微分方程解的存在性

潘宇洋， 王晓云

(太原理工大学 数学学院， 山西 太原 030024)

二阶奇摄动滞后型微分方程解的存在性

潘宇洋， 王晓云

(太原理工大学 数学学院， 山西 太原 030024)

研究了一类二阶奇异摄动滞后型微分方程的边值问题. 首先利用摄动方法中展开的思想对滞后项进行处理, 将原系统转化为不含时滞项的近似系统. 然后在一定的假设条件下, 结合边界层位于t=1和t=0处这两种情形, 利用奇异摄动方法和微分不等式技巧等对于方程的解给出了相应的存在性定理: 在满足一定的条件下, 对于足够小的ε>0, 边值问题存在满足条件的解.

二阶微分方程; 奇异摄动; 时滞; 边界层; 微分不等式

0 引 言

众所周知, 在工程技术和科学问题的应用领域中, 很多系统都呈现奇异摄动现象[1], 如飞机和火箭系统[2], 厄尔尼诺现象[3]. 具有奇异摄动现象的系统可以用奇摄动微分方程来描述， 而研究该方程的理论就是摄动方法[4-5]. 近年来, 许多学者用微分不等式理论研究奇摄动微分方程(组)的问题, 取得丰硕的成果[6-7]. 此外, 许多系统(如控制系统)常常会建立带有时滞项的奇摄动微分方程, 即奇摄动滞后型泛函微分方程[8-10].

本文研究一类奇摄动滞后型泛函微分方程边值问题的解的存在性. 主要是采用展开方法处理时滞项, 再运用奇异摄动法及微分不等式技巧研究如下二阶时滞奇摄动微分方程的边值问题

式中：ε是正的小参数(0<ε≪1)；r是一个很小的正数；B是常数； 函数f(t,y)在区间[0,1]×R上光滑.

1 预备知识

定义 1 函数α∈C2([a,b])为方程

的一个下解，如果

同样，函数β∈C2([a,b])是方程……