导数应用现难点 变式思维出奇招

广东省东莞市第一中学(523000) 孙传平

导数应用现难点 变式思维出奇招

广东省东莞市第一中学(523000) 孙传平

导数既是高考数学试题中的重点,也是难点,对以导数压轴的高考试题的求解运用常规思维往往显得很笨拙,甚至无能为力.文章归纳总结导数应用中的几种变式思维,对于突破难点、优化思维、提升能力大有裨益.

导数应用 变式思维

导数自编入高中数学课程以来,一直是高考数学的热点,在历年高考数学试题中不仅占有较大比重,而且常常以压轴题的地位出现,显现出导数应用难度加大的趋势有增无减,导致对其求解运用常规思维往往显得很笨拙,甚至无能为力.为此,本文介绍导数应用中的几种变式思维,供大家参考.

变式思维1主动讨论法

例1 (2007年全国卷)设函数f(x)=ex−e−x.

(1)略;

(2)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.

解(2)记g(x)=f(x)−ax,则g′(x)=ex+e−x−a.因为ex+e−x≥2,所以

当a≤2 时,恒有g′(x)≥0(g′(x)不恒为零),这时函数g(x)在[0,+∞)上为增函数,于是g(x)≥g(0)=0,即恒有f(x)≥ax,符合题意;

综上所述,a的取值范围是(−∞,2].

点评第(2)问相当于“若函数g(x)≥0恒成立,求a的取值范围”.这种题型的常规思维,是通过解不等式[g(x)]min≥0,求得参数a的取值范围.但是上述求解并没有这样做,而是根据ex+e−x≥2,主动对参数a提出讨论,得到a≤2符合题意,a＞2不符合题意.象这种根据导函数中的某种信息,主动对参数a进行分类讨论,得到其取值范围的思维方法,在此归纳为“主动讨论法”.

变式思维2多次求导法

例2 (2010年全国卷)已知函数f(x)=(x+1)lnx−x+1.

(1)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围;

(2)证明:(x−1)f(x)≥0.

(1)的求解略;下面探讨(2)的证明.

视角1 (x−1)f(x)＞0等价于(x−1)与……