构建坐标系 巧解压轴题

江苏省南通市田家炳中学(226001) 吕雯雯

构建坐标系 巧解压轴题

江苏省南通市田家炳中学(226001) 吕雯雯

17世纪,法国数学家笛卡尔创建坐标系,架起沟通代数与几何的桥梁,解决了传统几何过分依赖图形和形式演绎的缺陷和代数过分受法则和公式的限制而缺乏活力的不足,沿着这条思路前进,在众多数学家的努力下数学的历史发生了重要的转折,建立了解析几何学．

虽然,初中阶段不学习解析几何,但初中阶段已经学习了将代数和几何沟通起来的桥梁——平面直角坐标,因此我们可以尝试构建平面直角坐标来解决一些几何问题．

试题一2014年江苏省连云港市中考压轴题最后一问．

图1

某数学兴趣小组对线段上的动点进行探究,已知 AB=8．如图,点 P为线段AB上的一个动点,分别以AP,BP为边在同侧作正方形APDC,BPEF,若点M,N是线段AB上的两点,且AM=BN=1,点G,H分别是边CD,EF的中点．请直接写出点P从M到N的运动过程中,GH的中点O所经过的路径长及OM+OB的最小值．

笔者从网上找到的参考答案如下：

分别过G,O,H点作AB的垂线,垂足为R,S,T,则四边形GRTH是梯形．∵O是GH的中点,∴OS=运动路径在AB的上方且与AB的距离为4的平行线上．∵MN=6,点P在MN 上运动,且O是GH的中点,∴点O的运动路径为线段XY,且

(在求得点O的运动路径为线段XY的情况下,求OM+OB的最小值就是典型的“将军饮马”问题,笔者在此不再赘述解答过程)

看完此问的解答过程,笔者深深叹服解答者辅助线构造之精妙．同时又感觉到解题过程中的一段推理(∵MN=6,点P在MN上运动,且O是GH的中点,∴点O的运……