带阻尼项的分数阶差分方程的振动性和渐近性

芦伟

(宿州学院数学与统计学院,安徽宿州234000)

带阻尼项的分数阶差分方程的振动性和渐近性

芦伟

(宿州学院数学与统计学院,安徽宿州234000)

使用广义的Riccati技巧，研究了一类具有阻尼项的分数阶差分方程得到了其解的振动性的一些新准则.所得的结果改进和推广了某些分数阶离散方程的结果.

分数阶差分方程;阻尼项;振动性

0 引言

近年来,各类分数阶微分和差分方程的发展和应用方兴未艾,如在粘弹性理论、电子环路、控制理论、统计分析等领域的研究和应用日益深入,参见文献[1-6]及其相关参考文献.随着各类微分（差分）方程的振动理论研究被广泛关注[7-15],特别是对含阻尼项的微分、差分以及在时间模上的动力方程的振动性研究得到学者的重视[8,12-15],有些学者开始研究分数阶差分方程的振动性[15].受文献[8,13,15]的启发,我们研究了如下带阻尼项的分数阶差分方程这里,0＜α≤1且∆α表示α阶Riemann-Liouville算子,γ是奇正数之比.本文我们作如下假设.

(H1)r(t),p(t),q(t)都是正序列,且对充分大的t满足

(H2)f:R→R是连续函数；对一切的u(t)0和某个正数k,有u(t)f[u(t)]＞0且

1 准备知识

这部分我们将给出离散型分数阶微积分的基本知识.

定义1.1[1]令ν＞0,我们定义函数f的ν阶分数和分如下.

定义1.2[1]令µ＞0且m−1＜µ＜m,m是正整数,m=「µ」,置ν=m−µ，则f的µ阶分数差分定义如下.

引理1.3假设y(t)是方程(1)的一个解并且令

则有

证明

在后面的部分,我们将讨论如下两种情形.

2 主要结论及其证明

2.1(Ha)成立的情况

定理2.1假设(Ha)、(H1)、(H2)成立,y(t)是方程(1)的非振动解.则存在整数T≥t0,使得当t≥T时,有y(t)∆αy(t)＞0.

证明因为y(t)是方程(1)的……