红莲与白藕，原本是一家
——对源于教材的两道高考题的研究与思考

河北 田卫东

(作者单位：河北省昌黎第一中学)

红莲与白藕，原本是一家
——对源于教材的两道高考题的研究与思考

众所周知，数学教材是数学学科的核心教学材料，它是几代数学工作者智慧的结晶，不仅具备完整的知识体系，更有强大的权威性，同时也是教师实施教学和学生学习的主要材料.命题者在命制试题时，都会对教材予以高度关注，高考的部分试题便是从教材中选取优秀例题或习题进行加工、改造而成的.笔者经历了2013年和2016年的高三复习与高考，巧合的是在这两年的全国新课标Ⅰ卷的数学试题中，出现了两道非常类似的题目，更重要的是，它们均来自于人教社的新课标实验教材，现将这两道题及对它们进行的简单变化呈现给读者，以引起广大教师和学生的注意，在平时的教学和高三的复习过程中，一定要重视教材，尤其要重视对教材中经典题目的深入研究，避免陷入“题海”中而不能自拔.

一、两道试题与教材习题的比较

(1)已知圆M：(x+1)2+y2=1，圆N：(x-1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程.(2013年全国新课标Ⅰ卷20题，节选)

(2)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E，证明：|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程.(2016年全国新课标Ⅰ卷20题，节选)

解答过程如下：

第(1)题图

(2)解：∵|AD|=|AC|，EB∥AC，

故∠EBD=∠ACD=∠ADC，

∴|EB|=|ED|，

∴|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.

∵圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16，

∴|AD|=4，

∴|EA|+|EB|=4.

第(2)题图

下面再给出人教社课标教材选修2—1中第50页B组题的第2题及第49页A组题的第7题：

(3)一个动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆的圆心轨迹方程，并说明它是什么样的曲线.

第(3)题图

(4)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

第(4)题图

不言而喻，其中的关系已经非常明显，第(1)题是在第(3)题的基础上，将两个定圆内含改为了内切，同时改变了一些其他的数据，但题目的本质没有发生任何变化；第(2)题则是在第(4)题的基础上编制而来的.

二、两试题原是“一家人”

我们看第(3)题，如下图，其解答过程与第(1)题相同.如果将题中条件做适当改变，则可以得到：

变式1图

变式2：在变式1中，延长NP至切点Q，连接MQ，则点P在线段MQ的垂直平分线上.改变一下叙述方式，即圆N的半径为r，M是圆N内不同于N的一个定点，点Q是圆N上的任意一点，线段MQ的垂直平分线l和半径NQ相交于点P，求点P的轨迹.此题即成为了第(4)题.

变式2图

变式3：在变式2中，如图，将QM延长交圆N于点E，连接EN，过M作EN的平行线交NQ于点P，求点P的轨迹.这就是2016年全国新课标Ⅰ卷第20题的第(1)问.

变式3图

事实上，无论哪种变化，其本质都是考查了对平面内动点与两个定点距离之和为常数的深刻理解，只不过都是以圆为载体，借助圆心为定点和半径为定值这些条件，通过平面几何的一些定理或结论，其目的是转化为利用椭圆的定义探究动点的轨迹.从这个角度来说，它们的确是“一家人”.稍做改动，还可以得到以下题目：

三、它们还有“兄弟姊妹”

接下来，我们再看这样一道题：

(5)与两圆x2+y2=1及x2+y2-8x+12=0都外切的圆的圆心在( )

A.一个椭圆上

B.双曲线的一支上

C.一条抛物线上

D.一个圆上

第(5)题图

这是普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-1第80页的复习参考题A组第3题的第(2)题.

该题目的解法如下：设圆x2+y2=1的圆心为F1(0,0)，圆x2+y2-8x+12=0的圆心为F2(4,0)，动圆的圆心为M(x,y)，由题中条件可知|MF2|-|MF1|=1，结合双曲线的定义可知：所求动圆圆心的轨迹是双曲线的左支，故正确答案为B.将此题的条件稍做改变，即可得到以下变化.

变化1：将题中的与两圆都外切改为都内切，即圆M与圆F1和圆F2都内切，试确定圆心M的轨迹.

变化2：将圆F1改为点F1，则问题变为圆M经过定点F1，且与圆F2相外切，试确定圆心M的轨迹.

变化3：在变化2中将圆M与圆F2的切点记为P，则可叙述为P是圆F2上的任意一点，F1是圆外的一个定点，线段PF1的垂直平分线l和直线PF2相交于点M，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹.(此问题即为《数学》选修 2-1 第62页的A组第5题)

变化3图

变化4：在变化3的基础上，我们还可以这样改动：P是圆F2上的任意一点，F1是圆外的一个定点，直线PF1与圆F2交于点E，连接EF2，过点F1作F1M∥F2E与直线MF2交于点M，试确定M的轨迹.

变化4图

变化5：将圆F1改为点F1，将圆F2视为一条与x轴垂直的直线，于是可以得到以下问题：已知F1是直线l外的一个定点，圆M经过点F1且与直线l相切，试确定圆心M的轨迹.

如此看来，通过圆与圆的位置关系，以及对它们进行的各种变化，不仅可以得到动点的轨迹是椭圆，也可以是双曲线、抛物线，三种曲线通过这种方式又聚到了一起，可谓“不是一家人，不进一家门”.

四、一点启示与思考

对于第(1)题本文并未展开深入的讨论，如果将所给的两个定圆按照相离、外切、相交、内切、内含这五种位置关系，利用动圆与定圆的内或外切，我们可以得到各种有关椭圆与双曲线的轨迹，在此不再赘述，有兴趣的读者可以自行研讨.

本文的主要目的在于呼吁并提醒正努力拼搏在高三前线的广大师生，教材是我们的学习之本，其中有非常多的经典好题，我们在复习过程中应该重视对它们的整理和研究，结合历届高考试题，或许我们可以找到一些高考命题的规律或者思路，同时也可以对教材中的重点知识有更深入的理解和感悟.本文中的各种变化充分地反映了对椭圆、双曲线、抛物线定义的深刻理解，这些问题的解决也就完成了这三种圆锥曲线定义的复习，这样的学习方式也会使得我们对这几种圆锥曲线的辩证统一有了更加深入的认识，同时也培养了学生的发散思维和思考探究、解决问题的能力，可谓一举数得.

(作者单位：河北省昌黎第一中学)