回归本源是基础 选准形式显奇效

陕西 李 歆

(作者单位：陕西省武功县教育局教研室)

回归本源是基础 选准形式显奇效

一、试题呈现

【例1】(2014·新课标Ⅱ理·17)已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1.

二、试题解析

如果这种“代入法”，在短时间内无法消去分子和分母中的相同因式，怎么办？还有其他方法吗？我们不妨回归课本，联系到数列中的一些概念、公式、定理等，在形成与生成的过程中都渗透了观察、归纳、猜想、证明等基本的解题思想和方法，因此，在解决数列问题时，应当考虑最原始的方法即“归纳猜想法”.

由已知得

即知①式也成立.

综合(1)(2)知,对一切n∈N+都有①式成立.

【点评】以上两种方法，不论是定义法，还是归纳猜想法，都比较贴近学生的思维实际，都是学生在解题时最先容易想到的方法.虽然后者没有前者那么简单，但对第(Ⅱ)问的求解却起到了潜移默化的作用.

2.求{an}的通项公式

根据已知数列的递推关系式，一般会想到“待定系数法”.即：

3.1用通项公式②证明不等式③遇到的困境

3.2数列{an}的通项公式的另一种表示

【证明】由已知得

a1=1,

a2=3a1+1=3+1,

a3=3a2+1=32+3+1,

……

猜想:an=3n-1+3n-2+…+32+3+1.④

(1)当n=1时,a1=1,可知④式成立;

(2)假设当n=k时,④式成立,即有ak=3k-1+3k-2+…+32+3+1,那么当n=k+1时,得

ak+1=3ak+1=3(3k-1+3k-2+…+3+1)+1=3k+3k-1+…+3+1,

即知④式也成立.

综合(1)(2)知,对一切n∈N+，④式都成立.

【点评】如果将前3项写成:a1=1,a2=4,a3=13,那么就发现不了各项之间的规律,使归纳猜想法陷入困境.此解正是注意到了这块危险境地,巧妙地避险排难,采取将前3项中的各个加法项搁置起来,使各项之间的规律性得以充分彰显,从而让④式顺利浮出水面,同时也为证明第(Ⅱ)问打通了思路.

3.3不等式③的几种证明及加强

公式④是数列{an}的通项公式的另一种表示形式,虽然在结构上比②式要复杂一些，但用公式④证明不等式③如“水到渠成”,畅通无阻，因此，从某个意义上来说，形式决定思路.

当n≥2时,由④式得

综上可知,不等式③成立.

当n≥3时,由④式得

综上可知,不等式③成立.

当n≥4时,由④式得

综上可知,不等式③成立.

很显然,按照上述模式继续下去,还可以得到证法4、证法5等等.

根据上述证法2和证法3，可以得到不等式③的如下两个加强.

【加强1】已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1,则有

【加强2】已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1,则有

【点评】利用通项公式④之后,使放缩的内容发生了质的变化,从而使不等式③的证明实现了根本性的突破.这样的证明不仅思路自然,别具一格,而且在放缩过程中没有任何的技巧性,容易被多数学生所接受.将②式和④式的结构加以比较,以及它们在不等式③的证明中所起到的作用加以分析,就会得到这样的结论:在数学解题中,追求某种最佳结果固然重要,但有时将某种过程暂时停留,往往却能获得异样的精彩.

三、试题推广

对以上探究进一步分析,可以将上述高考试题做如下推广.

已知数列{an}满足a1=q,an+1=pan+q,其中p,q为常数,且p>1,q>0.

(作者单位：陕西省武功县教育局教研室)