约束Hamilton系统的稳定性研究

郑明亮，傅景礼

(1.浙江理工大学 机械设计与控制学院，浙江 杭州 310018；2.浙江理工大学 理学院，浙江 杭州 310018)



约束Hamilton系统的稳定性研究

郑明亮1，傅景礼2

(1.浙江理工大学 机械设计与控制学院，浙江 杭州 310018；2.浙江理工大学 理学院，浙江 杭州 310018)

给出了一种约束Hamilton系统的稳定性判断方法.首先，提出将因系统奇异性导致的内在限制方程看作是外在完整约束方程，采用Routh方法导出了约束Hamilton系统的相空间正则方程.其次，将约束Hamilton系统转化成力学梯度系统，给出转化微分方程表示的条件和表达形式；接着，根据梯度系统的性质结合李雅普诺夫的一次近似理论直接来判定约束Hamilton系统的平衡位置稳定性.最后，举例说明结果的应用.

约束Hamilton系统；梯度系统；李雅普诺夫；稳定性.

0 引 言

力学系统的运动稳定性在数学、力学、航空、航海、航天、新技术和高技术中得到广泛应用，发挥了越来越大的作用[1].关于稳定性的问题，Lyapunov首先给出了稳定性的严格数学定义，并提出一种研究运动稳定性的直接方法[2].Bottema[3]研究了лЯПУНОВ意义下，包括关于全部变量稳定性和关于部分变量稳定性.Risito[4]和Laloy[5]总结了保守系统和耗散系统的平衡和运动稳定性，得到线性、齐次、定常非完整系统平衡位置稳定与不稳定的一些更特殊的结果.我国著名力学专家梅凤翔[6]系统地论述了约束力学系统的运动稳定性问题.朱海平[7]研究了非完整系统的稳定性.傅景礼等[8-9]研究了相对论性和转动相对论性Birkhoff系统的平衡稳定性.Zhang[10]利用Noether守恒量构造了Lyapunov函数，研究了广义Birkhoff系统的运动稳定性.姜文安等[11]研究了广义Hamilton系统的运动稳定性.Cheng[12]研究了系统参数对带附加广义力项的约束力学系统运动稳定性的影响.如果一个力学系统能够成为梯度系统，那么就可用梯度系统的特性来研究力学系统的性质,特别是稳定性质[13].梅凤翔运用梯度系统研究了一阶Lagrange系统与二阶Lagrange系统的稳定性[14]，以及广义Hamilton系统与梯度系统两者之间的关系[15]，曹秋鹏等[16]研究了约束自治广义Birkhoff系统平衡稳定性的梯度系统方法.

在Legendre变换下，奇异Lagrange系统在过渡到相空间用Hamilton正则变量描述时,其正则变量之间存在固有约束，称之为约束Hamilton系统[17].机械工程和数学物理上许多重要的动力系统正符合约束Hamilton系统模型，如非树形多体机器人系统动力学模型一般为微分-代数方程组形式[18]、光的横移现象和量子电动力学[19]等.但是，关于约束Hamilton系统的稳定性研究一直鲜有报道.本文研究仅含第二类约束的约束Hamilton系统的稳定性，基本思想是将奇异内在约束等效成外在完整约束，方法是将其转化成梯度系统形式，再直接利用Lyapunov定理来研究其平衡稳定性的有关结论.

1 约束Hamilton系统的正则方程

Φj(t,p,q)=0,(j=1,…,n-r)

(1)

则约束Hamiltom系统的正则方程为[20]：

(2)

(3)

则方程(2)可简写为：

(4)

称方程(4)为与约束Hamilton系统相应的完整系统的正则方程.如果运动的初始条件满足内在限制约束方程(1)，即Φj(t,p0,q0)=0,(j=1,…,n-r)，则相应完整系统(4)的解就给出约束Hamilton系统的运动.

2 约束Hamilton系统的梯度表示

梯度或者斜梯度系统的微分方程为[15]：

(5)

其中V=V(a)称为势函数，并不是力学中的势能.而矩阵Aij(a)=-Aji(a)是反对称的，为便于研究约束Hamilton系统的梯度表示，将方程(4)表为如下形式：

(6)

方程(4)一般不是一个梯度系统，如果满足如下条件：

(7)

则方程(4)是一个梯度系统.进而，如果还满足条件

(8)

则式(7)可变为：

(9)

则可求得势函数V=V(a)使得，

(10)

值得注意的是，对于一个确定的力学系统,如果条件(7)不满足，还不能断定它不是一个梯度系统.因为，这与方程的一阶表示有关.

3 约束Hamilton系统的稳定性

约束Hamilton系统的平衡位置a0满足方程：

(11)

如果上述2n个代数方程彼此独立，则平衡位置是孤立的.不同于非奇异系统，由于内在固有限制约束的影响，约束Hamilton系统的平衡位置往往不是孤立的，而组成维数与限制方程有关的流形，其维数不小于齐次限制方程的数目.另外，约束Hamilton系统的运动方程可能存在平稳解，但却没有循环积分，且限制方程中显含循环坐标.因此，严格来讲，约束Hamilton系统的稳定性研究应包括关于全部变量稳定性和关于部分变量稳定性、平衡状态流形的稳定性等.

(12)

由于梯度系统平衡点处的线性化系统都只有实特征根，因此，特征根可为负，可为正，亦可为0.由Lyapunov一次近似理论可得[23]：约束Hamilton系统能够成为一个梯度系统，如果它的一次近似特征方程的根皆为负，则平衡位置是渐近稳定的；如果有正根，则是不稳定的；如果有零根，且是单根，其余无正根，则平衡位置是稳定的，但非渐近稳定；如果零根为重根，则平衡位置是不稳定的.

4 算例说明

设某力学系统的Lagrange函数为[24]：

其中非有势广义力Q1=Q2=0.试研究该系统平衡位置的稳定性.

系统的广义动量为：

易验证这是约束Hamilton系统，系数矩阵的秩为r=0<2，系统哈密顿函数和约束方程为：

有约束相容条件易得到[21]：λ1=-q2,λ2=q1，则系统总能量函数HT=q1p2-q2p1.

将上式带入式(4)或者式(6)可得约束Hamilton系统正则方程：

V(a)=HT=a1a4-a2a3.

容易验证系统的势函数是一个定负函数，可成为系统的一个Lyapunov函数.

系统的平衡位置为：

系统的特征方程形式为：

特征根实部全是非正数，则此约束Hamilton系统的平衡位置零解是稳定的.

5 结束语

本文将由于Lagrange函数奇异性而存在的内在固有限制方程看作是外在完整约束方程，建立了约束Hamilton系统的正则方程，给出了系统的运动微分方程成为梯度或者斜梯度系统的条件，一般说来，约束Hamilton系统是严格梯度系统的条件是很不容易满足的，但不带附加非有势广义力项的约束Hamilton一定是个斜梯度系统.化成斜梯度系统后便可利用梯度系统的性质来研究这类系统的稳定性.文中内容表明：约束Hamilton的总能量函数或者系统的积分可以成为斜梯度系统的势函数，如果该势函数又是一个Lyapunov函数，则系统的平衡零解稳定.约束Hamilton系统的稳定性在现代数理科学和工程技术中占有重要地位并广为应用，值得广大科技工作者关注和深入研究.

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[责任编辑：徐明忠]

2017-03-20；

2017-03-22

郑明亮(1988—)，男，安徽马鞍山人，浙江理工大学博士研究生，主要从事分析力学、机械结构动力学与控制方面的研究.

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