二次函数双根式顶点化的探索与研究

李道生+谢七生+魏均林+平功传+黄伟新+王振华

摘 要：通过研究二次函数双根式与顶点式的相互转化，推出了一种用双根表示抛物线顶点坐标的新的解析式——根顶式，从而实现了双根式与顶点式的统一，为解决二次函数的有关问题提供了一种全新的思考方法。

关键词：二次函数；双根式；顶点化；探索研究

“二次函数”是初中数学的重要内容，二次函数的解析式除了一般式外，另有双根式和顶点式。

双根式：y=a（x-x1）（x-x2）

顶点式：y=a（x+■）■+■

这两种表达式在解题过程中各自发挥着重要的作用，那么它们之间有什么内在联系？亦即双根与顶点坐标之间有什么联系？翻阅大量的课外书籍，我们发现还没有任何人思考过这一问题。

我们试着研究二次函数双根式与顶点式的相互转化，推出了一种用双根表示抛物线顶点坐标的新的解析式——根顶式，从而实现了双根式与顶点式的统一，为解决二次函数的有关问题提供了一种全新的思考方法。

下面，将给出我们发现的“二次函数的根顶式”及其推导过程。

二次函数的根顶式：设抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A

（x1，0），B（x2，0）两点，则y=a（x-■）■-■x1-x2■

证明：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点

∴由二次函数的双根式，有

y=a（x-x1）（x-x2）=ax2-（x1+x2）x+x1x2

=ax2-（x1+x2）x+（■）■-（■）■+x1x2

=a（x-■）■-■（x1-x2）■

=a（x-■）■-■x1-x2■

显然，解析式y=a（x-■）■-■x1-x2■是用双根x1，x2表示的，所以可以看作是二次函数的双根式，又因为其外在形式是顶点式，所以又可以看作是二次函数的顶点式：

顶点坐标为（■，-■x1-x2■），

对称轴方程为x=■

（注意：（x1-x2）■=x1-x2■，这样变形是为了突出解析式的几何意义，使解析式的内涵更丰富）

鉴于此，我们称此解析式为二次函数的“根顶式”。……