定积分在几何计算中的应用研究

丁军猛

摘要：定积分是高等数学的基础，它的应用非常广泛，在物理学、经济学、几何学中都有应用，本文重点研究了定积分在几何计算中的应用，通过利用定积分在解决一些利用初等几何知识无法解决的几何问题，为我们解决一些初等数学问题提供了一些新的思想，新观点。

关键词：定积分；几何；计算

在数学中，应用可以分为不同的层次：一是数学知识的直接应用，如由基本积分公式，利用直接积分法求不定积分，这是最低层次的一种应用；二是运用数学知识解决由具体问题抽象出来的数学模型，如利用定积分解决平面图形的面积和旋转体的体积问题，这是高一级层次的应用；三是运用數学知识直接解决现实问题，这时，需要对具体的问题进行抽象概括，抽象出具体的数学模型，而后进行解决，这是最高层次的一种应用。本文涉及的应用问题主要是二种应用，即运用数学知识解决数学模型。

一、定积分的概念和性质

（一）定义

设 为定义在区间 上的有界函数，在 中任意插入 个分点：将区间 分割成 个小区间 ，小区间的长度分别记为 ，在小区间 上任取一点 ，作和式： ，

若当 时，上述和式极限存在，且与区间 的分法无关，与 的取法无关，则称此极限为函数 在区间 上的定积分，记为 ，即 .

其中， 称为积分变量， 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分区间， 为积分下限， 为积分上限.

（二）定积分的几何意义

若在 上 ，则 的值表示由曲线 ，直线 ， ， 所围成曲……