从中考阅卷分析初中概率教学对策

江苏省昆山市葛江中学 周小明 (邮编:215300)

教 学参 考

从中考阅卷分析初中概率教学对策

江苏省昆山市葛江中学 周小明 (邮编:215300)

2016年江苏省苏州市中考数学卷第23题注重基础,关注学生思维;注重联系,关注知识应用;注重实践,关注探究能力;注重迁移,关注数学素养.结合中考阅卷情况,在分析学生答题的基础上进行思考,从语言表达、四基、知识联系、能力提升、思维发展等方面对初中概率教学提出了建议.

互联互通;能力提升;思维发展

《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《课标》)要求:“能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果,以及指定事件发生的所有可能的结果,了解事件的概率”.2016年苏州市初中毕业暨升学考试数学卷第23题就是对《课标》这一要求的积极响应,本人作为本题的阅卷组长,参与了本题的阅卷、分析的全过程,下面对考生对本题的解答情况做初步分析,并对初中数学的概率教学提出一些针对性的建议.

试题 (2016,苏州中考23题,满分8分)在一个不透明的布袋中装有三个小球,小球上分别标有数字－1、0、2,它们除了数字不同外,其他都完全相同.

(1)随机地从布袋中摸出一个小球,则摸出的球为标有数字2的小球的概为

(2)小丽先从布袋中随机摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标.再将此球放回、搅匀,然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标,请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标,并求出点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的概率.

1 试题分析

本题解答概况分析:本题总分是8分,考生平均得分在6.8分左右,失分主要集中在第2小题.

1.1 试题评价

章建跃博士曾谈过数学“好题”的标准,从数学角度衡量,“好题”应:与重要的数学概念和性质相关,体现基础知识的联系性,解题方法自然、多样,具有自我生长的能力等;从培养思维能力的角度,则应有:问题是自然地,对学生的智力有适度的挑战性,题意明确、不纠缠于细枝末节,表述形式简洁、流畅、好懂等.从这个标准来衡量,本题关注了初中概率的核心内容、主干知识(树状图或列表),关注了概率和图形与几何的联系,关注了过程考查(写坐标、求概率),关注了学生的思维层次、梯度合理(判断是否在图形内部),关注了试题的思想性(渗透了用已知知识、方法去研究未知领域的科学的研究方法).在知识立意上,注重基础,关注学生思维;在能力立意上,注重联系,关注知识应用;在考查方向,注重实践应用,关注探究能力;在考查内容上,注重迁移,关注数学素养.本题设计新颖,比较全面的考查了初中概率的基本知识、基本技能、基本思想,强化了学生对所学知识的综合应用,符合《课标》对概率的要求.

1.2 主要考点和常见错误

第1小题是以摸球为背景的概率题,考生对试题背景非常熟悉,入手容易,解答也很顺利,除了极少部分考生用小数(0.3)或百分数(33%)取近似值来作为最后的答案外,鲜有考生答错.

第2小题在第1小题的基础上增加了平面直角坐标系和正方形的情景,问题包含3个得分点(考查点),分别是树状图(或表格),点的坐标(目标总体),点落在网格内的概率(目标对象).解答情况整体良好,但同时存在3个主要误解2个主要障碍和2个主要失误.

考查点一 树状图或表格.用树状图、表格解答的考生在人数上不相上下.但本题还需列点M所有可能的坐标,求出点M落在正方形网格内的概率,用表格解答优势明显,说明考生在解答前并没有仔细分析,对波利亚的解题四步骤中的拟定计划并没有好好的实施.障碍之一:失分的考生主要体现在树状图(或表格)根本就不会,各种似是而非的图(或表格)多次出现.误解之一:树状图(或表格)中的横纵坐标不是用的题干中所给的3个小球上的数字－1、0、2,而是误用了平面直角坐标系中横轴和纵轴上的5个整数－2,－1,0,1,2.误解之二:认为第一次摸球后球没有放回,导致树状图(或表格)出错,从而引起求概率时的目标总体和目标对象都出现错误.造成这两个误解的主要原因是理解问题(审题)出现了偏差.这一问要求考生用树状图或表格来求解,直接考查考生对树状图或表格求等可能条件下概率的掌握情况,有较高的效度和信度.

考查点二 列出符合要求的点M的所有可能坐标.用表格解答的考生基本上都写出了点的坐标,因为表格中有空白处,自然而然的就填上了坐标.也有部分考生虽然不知道树状图和列表,但用穷举法也列出了点的坐标.主要失误之一:部分用树状图解答的考生没有写点的坐标,同样是由于审题不仔细造成的.

考查点三 求出点M落在网格内(包括边界)的概率.此小问解决方法较多:最直接的方法就是描点,可以用三角形的中位线、三角形相似、一次函数的解析式等来判断点是否在图形内部(包括边界).解题入口很宽,遗憾的是(障碍之二):由于初中数学没有直接学习点是否在正方形内部的内容,相当一部分考生判断点M是否落在正方形网格内有障碍,从而导致求概率时目标对象错误.主要失误之二:部分考生直接写出概率,只要结果,轻视解答和计算的过程,答题行为比较随意.主要误解之三:出现个别学生把判断点是否在正方形网格内的过程写出来了,并且判断过程用了很大的篇幅,也许是由于题中出现“求出”的要求,导致个别考生误认为“求”的主要内容是判断点M落在网格内(包括边界),其实“求”的主要内容应该是“概率”,如果把“求出”改为“直接写出”也许就不会出现这个误解了.

2 主要错因分析

(1)基础知识不牢固.树状图(列表)错误的考生基本就是没有掌握.树状图和列表是初中生求等可能事件概率最常用的两种工具.理解简单、掌握也容易,绝大部分学生应该熟练掌握并能灵活应用.

(2)审题大意.树状图(或表格)出现数字写错(用坐标轴上的5个整数)、认为球没有放回、点的坐标没有写、直接写出概率的结果以及把判断点是否在正方形网格内的过程写出来,大都是审题不仔细造成的.特别是看到熟悉的背景就认为是做过的,从而看题马虎、审题粗略,连题目要求都没有看清楚就开始解答,犯了解题的大忌.

(3)知识迁移、运用能力不强.点是否在正方形内的判断方法虽然没有直接讲,但初中数学学过点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、正多边形与圆以及点是否在直线上、是否在双曲线上、是否在抛物线上,这些方法都是可以借鉴使用的,同时用最直接的方法:在平面直角坐标系中描出这些点也可以判断.

3 教学对策建议

中考试题备受考生、家长、教师等各方的关注,对当地的一线教学具有较强的导向作用.针对以上情况,在初中数学的概率教学中可以采取一些针对性的措施和训练.

3.1 关注语言,为学生表达准确做好示范

著名教育家叶圣陶说过:“凡是当老师的人,绝无例外地要学好语言,才能做好教育工作和教学工作.”而数学语言作为一门特殊的语言,它精炼、准确而严谨,有其自己独特的语言体系:文字语言,图形语言,符号语言.它们以不同的方式向学生们表达数学知识和数学思想.教师在教学中要做到用词精炼准确,用句简明扼要,切勿信口开河.但在实际教学当中,教师可能为了便于学生的理解而出现了一些生活化、口语化的词语,或者盲目追求语言的艺术性而忽视了其严谨性:比如说有的老师常常用“几率”这个词来代替“概率”;“一般地,在一定条件下大量重复进行同一实验......”很多老师经常忽略掉“一般地”这个词;等可能条件下的概率忽视“等可能”这一前提;部分学生用百分数或近似数来表示概率老师却没有及时纠正.概率中涉及到专用的数学语言必须要准确而规范,教师的示范作用和纠错作用必须要足够的重视,为学生的准确表达做好示范.

3.2 关注教材,为学生夯实基础保驾护航

教材和教材中的一些数学模型是中考命题的蓝本,教材的编写也突出了“基础知识,基本技能,基本思想和基本活动经验”.“四基”是初中数学教学的主题,中考概率问题基本都是课本例题、习题的变式题.教师在立足教材的基础上,努力挖掘教材的最大教学效益,注重课本例题、习题的分析讲解,充分利用并发挥好教材的教学功能.树状图和列表格作为求等可能条件下的概率的基本工具,有些教师认为过于简单而忽视,造成部分学生由于基础知识差、基本技能低而出现懂而不会、会而不对的现象,教师平时应该对没有掌握的学生针对性的个别辅导,及时反馈,查找缺漏、适时采取补救措施,学生掌握并能用来解决简单的实际问题是完全可能的.教学应着重在知识体系上不留死角,在解题要求上不留后患,在思想方法上不留遗憾.着眼于学生的可持续发展,稳固的基础是不可或缺的,在夯实基础的基础上实现能力的提升,努力达到基础与能力并驾齐驱的效果.

3.3 关注联系,为学生互联互通编织网络

《课标》在“课程总目标”中指出:“通过义务教育阶段的数学学习,学生能体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系”.概率的教学中要处理好概率与数据的收集、整理、分析的关系,处理好概率与决策的关系,处理好概率与频率的联系,引导学生感悟:概率是建立在频率的稳定性的基础上的,频率和概率虽然分属于不同的学科,但他们之间的联系说明了统计与概率这两门学科是相互联系、相互作用的.既能促进新知的学习,又能加深旧知的巩固.

处理好概率这一知识点与整个初中数学知识的关系,让概率这一知识点穿梭在“知识的结构和体系”中,找到它的“生长点”与“延伸点”,注重概率这个知识点和图形、方程、函数等知识点之间的衔接和联系.引导学生既注重知识的阶段性,又注重知识的整体性,既要找到知识之间的逻辑顺序,又要找到知识之间的实质性联系,解读出概率知识关联线——确定事件与随机事件——数据的收集、整理——统计图——频数、频率——概率——解决问题(做决策).在概率的教学中有很多跨学科的、生活化的素材和背景,教学中要处理好概率与其他学科、与社会上的事件之间的联系.把分散的知识点和不同的学科、生活如同拼图一样弥合起来,如同织物一样编织在一起.

3.4 关注变式训练,为学生提炼共性渗透思想

要想学生能够“做一题,会一类”,教学中不能简单的就题论题,要有相应的变式训练,对一个问题从不同情形、不同角度、不同层次、不同背景做出有效的变化,使其条件或形式发生变化.这样可以把一个看似孤立的问题从不同方面向外扩散,揭示不同问题间的共性,并形成一个有规律可寻的系列,帮助学生在问题的解答过程中去寻找解类似问题的思路、方法,关注数学思想方法的渗透.一题多变可以开阔学生视野:让学生注意到同一个背景下有不同问题出现,不同的背景下也许有相同的解题思路,多次的变式训练后让学生明白:题目的重点不在相同的背景、而在于不同的题设.

初中概率教学虽然与生活联系紧密,但问题的背景其实也很单调:大多都是围绕摸球、掷骰子、抛硬币、抽卡片(或扑克牌)等展开问题.本题(2016年苏州中考第23题)也是如此,但第(2)问的设置就给人耳目一新的感觉.为一线教师在教学中的变式训练指明了方向:变式可以与生活联系、学科内迁移、跨学科整合.让学生通过变式训练促进知识的活化、深化、内化.

3.5 关注解题步骤,为学生能力提升架桥铺路

美籍匈牙利数学家乔治·波利亚告诉我们解题的四个步骤:理解问题、拟定计划、实现计划、回顾与检验.弄清、理解问题(审题)是解题的前提条件,题目的条件是什么?结论是什么?只有理解题意,才能进入拟定解题计划的过程,拟定计划则重中之重.“你以前见过它吗?你是否知道与此有关的问题?这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题.你能不能利用它?……”经历一系列的自问自答,问题的解决思路及所给的每一个条件的作用就逐渐明晰了.接下来实现解题计划并检验每一步骤,检查结果并检验其正确性,思考是否能换一个方法做这个题,并尝试把你的结果和方法用到其他问题上.

本题中考生的3个误解和2个失误中,有理解题意的疏漏(数字写错,球没放回,判断点是否在网格内的过程写出来),有计划探求的失误(如果用表格基本就不会出现坐标不写的问题了),有书写表达的不规范(直接写出概率的结果),也有回顾反思的忽视.波利亚的解题四步骤给出了一套解决数学问题的一般方法与模式,同时揭示了解题中的思维方法、思维过程.教学和平时的练习中要求学生认清每一个条件,从题目中提炼有用信息,把已知和未知用所学知识联系起来,书写、表达规范……,悉心体会并把握好每个步骤的要领,对学生解题能力、解题效率的提升会起到很大的帮助作用.

3.6 关注应用创新,为学生思维发展放飞空间

在实施素质教育的今天,创造性和发散性思维越发重要,因此学生应用能力和创新能力的养成显得尤为重要.“钱学森之问”对学校教育指明了方向,没有创造性思维的培养,也不可能培养出创新型人才.在概率的教学中,可以通过一题多解来提升学生解决问题的迁移内化能力,通过设置开放性问题来强化转化策略,课堂上多一些学生自己的见解,特别要凸显“怎么想到的”的思维过程,以供其他同学借鉴.

概率的最大特点是它的应用性,不但和生活中的游戏公平性、中奖、点数、区域配色、风险预估、决策方案等紧密联系,还在其它领域应用广泛.在概率教学中,现实背景的趣味性和丰富性、应用途径的多样性、问题解决的挑战性,都有利于学生构建具有自我生长性的学习环境.学生养成用数学的眼光关注生活,用数学的思维分析社会现象,用数学的方法解决各种相关问题的习惯.获得问题解决的技能、思想创新的策略、思维发展的空间.

1 中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准(2011年版)[S].北京:北京师范大学出版社,2012

2 教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准(2011年版)》解读[M].北京:北京大学出版社,2012:62

3 石树伟.从“冰冷的美丽”到“火热的思考”[J].中学数学教学参考(中旬),2017(3):56-58

4 李明树.感悟思想把握本质[J].初中数学教与学, 2017(3):37-39

5 徐英,杨光伟.中国与新加坡课程标准初中学段“统计与概率”的比较研究[J].中学数学杂志,2013,(4): 28-30

2017-07-05)