挖掘例习题 欣赏圆锥曲线和谐统一之美

甘肃省兰州市第七中学 秦建华 (邮编:611731)

挖掘例习题 欣赏圆锥曲线和谐统一之美

甘肃省兰州市第七中学 秦建华 (邮编:611731)

对人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修1－1圆锥曲线例习题深度的研究.以三角形为载体,几何画板为媒介,深入地挖掘教材中的例习题,欣赏圆锥曲线的和谐统一之美.

圆锥曲线;和谐统一;例习题;几何画板

1 看三角形两边和差等于定常数

椭圆和双曲线有人曾称他们是一对“情侣曲线”,他们的标准方程只差一个运算符号,一个是“＋”,而另一个是“－”,巧合的是在定义里面椭圆说的是到定点距离之和等于定常数,双曲线定义说的是到定点的距离之差等于定常数.图象的对称性完全一致.笔者在椭圆和双曲线的教学过程中,经常用几何画板来展示它们定义的和谐统一和相互转化,使人赏心悦目,从而激发学生对圆锥曲线学习的兴趣.人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修1－1第54页A组第5题.当定点A在圆内就可得命题1,定点A在圆外就可得命题2.

命题1 已知△ABC,顶点A(－c,0),B(c, 0),且CB ＋CA ＝2a(2a＞2c＞0),动点C的轨迹为椭圆,方程

命题2 已知△ABC,顶点A(－c,0),B(c, 0),且动点C的轨迹为双曲线,方程为b＞0).

命题1,2证明从略.

2 看三角形两边之比等于定常数

人教版《全日制普通高级中学教科书·数学》选修第二册上第86页例5推广可以发现.

命题3 已知△ABC,顶点A(－c,0),B(c, 0)(c＞0),且),动点C的轨迹(1)当λ＝1时,轨迹为直线,方程为x＝0; (2)当λ≠1时,轨迹为圆,方程为以为圆心,半径为的圆.

命题3证明从略.

这个圆是著名的阿婆罗尼奥斯圆……