判别式的简便解法及其延伸应用

陈宥伊

摘要：众所周知，当我们求解与圆锥曲线相关的题目时，常需要求解判别式，而联立方程中又有一个或多个参数，故而判别式的求解较为复杂。因此笔者在此介绍一种判别式的简易解法，并拟用接下来的例题讲述此方法。

关键词：判别式；求解；延伸应用

例1，已知与相交于两点，试求联立后的判别式。

解析，联立得到联立方程 ，化简后得，再根据判别式的一般解法，可得

评注 通过此题，我们可以惊奇的发现，而其中的即为联立方程中的二次项系数，即为联立时一次函数截距的平方。因此便推出判别式的简易求法，当然在使用该方法时，也有两点注意事项，第一，椭圆联立时需要消去分母。即将化为。第二，当不互质时不可化简，约分。例如仅可化为，不可化为

在推导出判别式的简易算法后，便可对其加以应用，下面是几个应用实例

1.椭圆的面积最大值问题

例2，已知，两点是椭圆上的动点，求的最大值。

解析 设的解析式为，则联立，得到联立方程

化简后可得，故而因此可以将表示为，而到的距离，所以面积即可表示为，在使用均值不等式，即当时，

评注 利用判别式的简便算法竟成功推出椭圆中特殊三角形的最大值等于（在时）有了这一结论，就可以“秒杀”出部分题目。

例3.（2014年潍坊二模）椭圆的短轴长为2，点为上顶点，圆，将椭圆的长轴三等分，直线与椭圆交于两点

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求证△APB为直角三角形；

并求出该三解形面积的最大值.

（1）易得

（2）证明过程略

当时，即