递推式与应用

刘许胜

摘 要：通过几例典型例题说明数列递推式在应用问题方面的表现特点和解决方法，指出这类问题对锻炼学生思维能力所起的作用。

关键词：递推式；应用问题；思维能力

递推式是一类广泛而复杂的问题，特点是：逻辑严谨，推理性强，解法灵活开放，有利于思维的发散性与个性品质的培养，主要是转化为：等差数列与等比数列求解。

应用问题是数学知识作用于实际的数学问题，是高考和竞赛中的热点，其特点是：内容广泛，对信息收集、语言转换和数据处理能力要求高，是应用意识与能力培养的素质教育的一个主要

方面。

应用问题与递推式结合既可把数学运用于实践，又可以在实践中发展能力，因此在教学中有意识地从这两个方面去培养学生的能力是有益的。下面从几个方面举例说明。

1.排序问题

【例1】将1元和2元的两种硬币共n元排成一排，总共有多少种不同的排法？

解：设排法总数为xn，则x1=1，x2=2，把xn种排法分成两类：

①头一张是1元的排法数就是xn-1；

②头一张是2元的排法应是xn-2。

于是xn=xn-1+xn-2 （n=3，4，5，…）

下面用待定系数求求通项xn。

引入参数m设：xn+mxn-1=（m+1）xn-1+xn-2

即xn+mxn-1=（m+1）（xn-1+■xn-2）

令m=■，则m=■，于是

xn-■xn-1=■（xn-1-■xn-2）①

xn-■xn-1=■（xn-1-■xn-2）②

由①式知数列xn-■xn-1是首项为x2-■x1=■，公比为q1=■的等比数列，

所以有xn-■xn-1=■（■）n-2=（■）n③

由②式知数列xn-■xn-1是首项为x2-■x1=■，公比为q1=■的等比数列，

所以有xn-■xn-1=■（■）n-2=（■）n④

由③④消去xn-1，即得

xn=■（■）n-（■）n

注：这是斐波拉契数列的递推式，可转化为等比数列求通项。

2.化学问题

【例2】容器中有浓度为m%的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，这样进行了10次后溶液的浓度是多少？

解：容易计算每次操作后浓度减少了■，

∴第一次操作后浓度为a1=（1-■）·m%，设第n次操作后浓度为an，

则有an+1=an·（1-■），于是an是首项为a1=（1-■）·m%，公比为q=1-■的等比数列，即an=（1-■）n·m%，

∴a10=（1-■）10·m%

注：这是数学在化学中的应用。

3.涂色问题

【例3】把一块圆形木板分成n（n≥2）个扇形：S1，S2，…，Sn，在每一块木板上涂色，可用红、黄、绿三种颜色之一涂，要求相邻扇形颜色不同，问一共有多少种涂法？

解：设n（n≥2）个扇形的涂法数为an（n≥2），

当n=2时，S1有3种涂法，S2有两种涂法，∴a2=3×2=6。

当n>2时，S1有3种涂法，S2，S3，S4，…，Sn-1，Sn各有两种涂法，共有3×2n-1种涂法，其中Sn与S1同色时有an-1种涂法，∴an=3×2n-1-an-1，（n≥2），

上式即■=■-■·■

即■-1=-■（■-1），

得数列■-1是以首项为■-1=■，公比为q=-■的等比数列，

所以■-1=■，

即an=2n1+■=22n-1+（-1）n，

即当n>2时，一共有22n-1+（-1）n种涂色方法。

注：染色问题通常会涉及排列与组合知识，是数学竞赛中的常见问题。

4.概率问题

【例4】A、B两人各拿两颗骰子玩抛掷游戏，规则是：若抛出的点数之和为3的倍数，则继续抛；若不是3的倍数，则由对方抛。先由A开始抛，第n次由A抛的概率为Pn，求Pn？

解：抛两颗骰子出现的点数和为3的倍数的情况有：（1，2），（2，1），（3，3），（3，6），（6，3），（6，6），（2，4），（4，2），（4，5），（5，4），（1，5），（5，1）共12種可能，第n+1次由A抛这一事件，包含两类：

①第n次由A抛，第n+1次继续由A抛，概率为：■Pn

②第n次由B抛，第n+1次由A抛，概率为：（1-■）（1-Pn）

从而有Pn+1=■Pn+（1-■）（1-Pn）

即Pn+1=-■Pn+■，（其中P1=1）

即Pn+1-■=-■（Pn-■）

于是Pn-■=（P1-■）·（-■）n-1，

即Pn=■+■（-■）n-1。

注：概率问题是博弈论中的中心问题，也是大数据中经常用到的方法。

5.几何问题

【例5】观察下面的图形有规律：图（1）是一个正三角形（边长为1）；图（2）是在图（1）的各边中央■处向外长出一个正三角形，形成了六角形星形；图（3）是在图（2）的每一小边的中央■处又向外长出一更小的正三角形；如此继续下去……

①求第10个几何图形的周长L10；

②求第10个图形的面积S10。

解：设第n图形的边数为cn，边长为dn，则由后面一个图形的边长是前面的图形的边长的■，每条边增加到四条边可知；

cn=4cn-1，又c1=3，∴cn=3×4n-1

dn=■dn-1，又d1=1，∴dn=（■）n-1，于是

①第n个图形的周长为Ln=Ln-1+Cn-1×dn

即Ln=Ln-1+3×4n-2×（■）n-1

∴Ln=Ln-1+■×（■）n-1

用累加法可得Ln=■+3×（■）n-2

∴L10=■+3×（■）10-2=■+3×（■）8

②第n个图形的面积Sn=Sn-1+cn-1×■×（dn）2

即Sn=Sn-1+3×4n-2×■×（■）2n-2

即Sn=Sn-1+■×（■）n

用累加法可得Sn=■+■×1-（■）n-1

S10=■+■×1-（■）10-1=■+■×1-（■）9

注：本题由一道全国竞赛题改编而成。

递推式与应用问题包含的内容相当广泛。如：分期付款、旅游开发、环境保护、城镇规划、机构改革等等，甚至在其他学科（物理、化学、生物、体育等）中都存在。此类问题有其广度和创新度，是一类锻炼思维能力的好题型。

参考文献；

[1] 林晓艳.二阶超线性差分方程的有界振动[J].应用数学，2001（S1）.

[2]杨忠鹏，陈梅香，林国钦.关于三幂等矩阵的秩特征的研究[J].数学研究，2008（3）.

编辑 张珍珍