基于混沌相空间重构参数优化的动态神经网络预测模型研究

修妍

摘 要：针对传统相空间重构参数的选取无统一标准，影响混沌时序相空间重构质量及预测精度问题，提出了相空间重构优化参数动态神经网络预测模型的新方法。该方法在重构相空间的基础上利用动态神经网络模型对混沌时序进行预测，由预测误差综合确定预测模型的参数设置，并反推出重构相空间的最佳嵌入维数和延迟时间。通过对Lorenz混沌系统的仿真，证明文章提出的方法是有效的。

关键词：相空间重构；动态神经网络；预测

中图分类号：TP27 文献标志码：A 文章编号：2095-2945（2017）23-0013-03

1 概述

混沌时间序列分析与预测已经在天气预报、经济预测、电力负荷预测等方面得到了广泛的应用。相空间重构是进行混沌时间序列分析与预测的基础，而进行相空间重构的嵌入维数和延迟时间参数对重构后的相空间质量有很大的影响，相空间重构的质量将直接影响到混沌时间序列的预测精度以及预测时长。相空间重构的嵌入维数如果选取的较小，则不能完全展现混沌系统的细微结构；其嵌入维数如果选取的较大，则会使计算工作复杂化，引起噪声。相空间重构的延迟时间如果选取的较小，通过重构的系统相轨迹由于相关性较强而在相空间主方向压缩，使相空间中的相邻延迟坐标元素差别太小，造成信息冗余；其延迟时间如果选取的较大，则系统中某一时刻的状态与其后的状态在因果关系上变得不相关，导致相邻延迟坐标元素之间的信息丢失，信号轨迹可能会出现折叠现象。因此，对相空间进行重构的嵌入维数和延迟时间的参数选择成为研究者的重要研究课题。

目前，相空间重构参数的确定方法有两类。一类为分别计算两个参数，其中对延迟时间的选取主要有自相关函数法、平均互信息法、平均位移法等，对嵌入维数的选取主要有关联维数法、虚假邻点法等。另一类为同时计算两个参数，如时间窗口法、C-C法等。此外，还有一些学者对相空间重构参数的常见方法进行了改进研究[1-5]。虽然各种研究方法都取得了一定的效果，而且大部分研究都以经典混沌系统Lorenz混沌时序为例进行了验证研究，但是不同的研究人员得到的研究结果并不一致。由于有研究表明应用神经网络进行建模预测时，获得最优预测结果所对应的相空间重构参数并不是应用传统方法获得的嵌入维数和延迟时间[6]。因此，为了提高混沌时间序列的预测精度和预测时长，本文综合考虑相空间重构和预测算法之间的内在联系，研究在相空间重构以后，从对未来时序进行预测的预测模型误差的大小反推嵌入维数和延迟时间以及预测模型的参数选择是否为最佳选择，从而使相空间重构参数和预测模型的参数选择可以同步进行，并运用Lorenz混沌时序进行仿真实验，以验证本文方法的可行性和优越性。

2 混沌时序相空间重构

2.1 相空间重构

设观测到的混沌时间序列为x1，x2，...，xn，按照Takens[7]的延迟嵌入理论，可选用适当的延迟时间和嵌入维数m，将混沌时间序列重构为如下的m维相空间：

2.2 延迟时间和嵌入维数m的确定

由于在工程实践及金融经济研究中所获取的时间序列都是有限长且含有噪声的，也无法事先预知此类系统的非线性特征，采用分别计算其相空间重构参数的方法并不可行。此外，大量实验表明，嵌入维数m和延迟时间的关系与重构相空间的时间窗W密切相关， 因此，m和的联合算法更适合实际应用。其中，1999年，H.S.Kim、R.Eykholt和J.D.Salas提出的C-C算法[8]由于方法相对简单，易于在计算机上实现，能够同时得到和W而得到了广泛的应用。该方法将整个时间序列分成t个不相交的时间序列，序列长度l=N/t，当N→∞时，

3 相空间重构优化参数动态神经网络预测模型

本文利用相空间重构和动态神经网络对混沌时间序列进行预测，相空间重构参数的选取对于相空间重构的质量以及动态神经网络对未来时序的预测精度和预测时长的影响较大。因此，本文综合考虑相空间重构和预测算法之间的内在联系，从预测模型误差的大小来反推嵌入维数和延迟时间以及预测模型的参数选择是否为最佳，从而同步确定相空间重构的参数和预测模型的参数，得到未来时序预测的精确值。具体过程如下：

第一步：对混沌时序数据进行归一化处理，归一化方法可采用最大最小化方法，避免因为输入输出数据数量级差别较大而造成网络预测误差较大。

第二步：用C-C算法即公示（2）、（3）、（4）和（5）对第一步归一化处理后的混沌时序初步计算其嵌入维数m和延迟时间。

第三步：将第二步计算出的嵌入维数m和延迟时间帶入公示（1），将原混沌时序重构为m维相空间。

第四步：将第三步得到的相空间重构数据作为动态神经网络的输入数据，建立动态神经网络NARX预测模型。NARX（Nonlinear Auto-Regressive models with Exogenous Inputs） 神经网络被称为带外部输入的非线性自回归模型[10]，它是非线性动态系统中应用最广泛的一种神经网络，NARX模型非常适合混沌时序的预测。在应用前一般要事先确定输入和输出的延时阶数、隐层神经元个数等。再将输入数据经NARX神经网络隐含层的tansig激活函数，以及输出层的purelin传递函数，得到输出向量，然后将输出向量延时反馈引入网络训练中，形成新的输入向量。在训练、验证及测试过程中，网络模型的输入不仅包括原始输入数据，还包含经过训练后的输出数据，网络的泛化能力得到提高。NARX神经网络的数学模型可以表示为：

其中f（·）表示用神经网络实现的非线性函数。

第五步：运用第四步建立好的NARX神经网络预测模型对混沌时序进行滚动外推多步预测。以绝对预测误差（APE）和标准均方根误差（RMSE）衡量模型的预测性能，计算方法如下：

式中ytrue，i为实际观测值，ypredict，i为模型预测值，n为测试样本个数。绝对预测误差值和均方根误差值越小，表明预测效果越好。为达到期望的预测效果，需要对第四步NARX预测模型的隐层神经元个数和延时阶数的具体数值反复调试，并结合第三步计算出的嵌入维数m和延迟时间经过筛选对比，选择预测误差最小时对应的参数作为最佳的相空间重构参数，而最佳相空间重构参数对应的预测值即为所需要的预测结果。

第六步：对第五步的预测结果作反归一化，得到混沌时序的最终预测值。

4 仿真研究

本文以Lorenz系统进行仿真研究， 以验证本文提出方法的有效性。Lorenz混沌时序方程如下：

由C-C算法得到延迟时间的值为10，其嵌入维数m的参考值为6，分别取嵌入维数m的值为3、4、5和6，进行相空间重构，然后设置NARX预测模型的延迟阶数为3，隐层神经元个数为10，对Lorenz混沌系统的将来值进行滚动外推50步预测，绝对预测误差如图1所示。由图1可看出当延迟时间？子的值为10，其嵌入维数m的值为5时，其绝对预测误差较小，标准均方根误差值为0.78419。

重复以上过程，只是改变NARX预测模型的延迟阶数和隐层神经元个数的设置，得到一系列预测值，比较预测值的标准均方根误差，选取最小的均方根误差所对应的参数值为最佳。研究结果表明，当NARX预测模型的延迟阶数设置为3，隐层神经元个数设置为20，相空间重构延迟时间的值为10，其嵌入维数m的值为6时，Lorenz混沌时序滚动外推预测50步时的均方根误差最小，其值为0.07098。为了验证本文方法的有效性，采用伪近邻方法确定嵌入维数m=3和互信息方法确定延迟时间=19重构相空间，与本文方法用同样的NARX神经网络进行预测误差对比，证明了本文方法的预测效果较好，如表1所示。

5 结束语

本文结合相空间重构和动态神经网络NARX对混沌时序的预测进行了研究，提出了相空间重构优化参数动态神经网络预测模型的新方法。该方法在重构相空间的基础上利用动态神经网络模型进行预测，由预测误差综合确定预测模型的参数设置，并反推出重构相空间的最佳嵌入维数和延迟时间，由于在确定参数的过程中已经进行了预测计算，因此直接选择最佳参数对应的预测结果即为最终预测值。通过对Lorenz混沌系统的仿真，证明本文提出的方法是有效的。

参考文献：

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