构造圆，“拔开云雾见月明”
——“有公共斜边的直角三角形”模型的建构与应用

吴方建

（福建省尤溪县文公初级中学）

构造圆，“拔开云雾见月明”
——“有公共斜边的直角三角形”模型的建构与应用

吴方建

（福建省尤溪县文公初级中学）

2017年中考命题重视对学生发展性的评价，关注核心素养层次性的考查，数学抽象、数学建模、直观想象是数学学科核心素养的重要内容.文章以2017年质检卷、中考模拟卷中，选择题、填空题的压轴题的倒数第一题、倒数第二题中的一类题型为素材进行整合，抽丝剥茧，挖掘这类题型的共同特点，对核心图形进行探究，建构模型，实现“多题同解”，达到思路分析“化难为易”、解题过程“化繁为简”的效果.

公共斜边；直角三角形；构造圆；数学抽象；几何模型

中考复习中，对一类含有相同数学本质的试题进行整合，追根溯源，揭示图形的本质，归纳解决这类图形中问题的方法，并建构模型.既能让学生夯实基础，达到“知一形，晓一类”、以点破面的效果，同时也是以解决具体问题为载体，发展学生的数学核心素养.

一、题型呈现

例1 如图1，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足为点E，交AC于点F，连接CE.

（1）求证：△BCF≌△ACD.

（2）猜想∠BEC的度数，并说明理由.

（3）探究线段AE，BE，CE之间满足的等量关系，并说明理由.

图1

图2

学生解题反馈（笔者重点聚焦第（2）小题）：绝大多数的学生能猜想出∠BEC=45°；在说理环节，第（2）小题结论的证明方法很多.例如，割长补短法.如图2，在BE上截取BE′=AE，利用第（1）小题的结论△BCF≌△ACD，可证△BCE′≌△ACE.由全等三角形的性质，得∠BCE′= ∠ACE，CE′=CE.又因为∠BCE′+ ∠FCE′=90°，等量代换，得∠FCE′+∠ACE=90°.因此，得△E′CE是等腰直角三角形.从而证得∠BEC=45°.

例……