一维问题m次lagrange形函数有限元方程的条件数与预处理

张衡

（福建师范大学福清分校电子与信息工程学院，福建 福清 350300）

一维问题m次lagrange形函数有限元方程的条件数与预处理

张衡

（福建师范大学福清分校电子与信息工程学院，福建 福清 350300）

求解大型稀疏病态线性方程组是科学计算和工程应用中经常遇到的重要问题，通过预处理、降低条件数来改善病态是解决该问题的关键。在用有限元方法求解积分形式的一维两点边值问题时，利用m次lagrange形函数可将该问题的求解化成稀疏病态有限元方程组的求解。本文研究该方程组的特殊结构，分析了该方程的条件数，再将系数矩阵的大范数部分分解成4个结构特殊的简单矩阵乘积，基于这种特殊分解设计出预条件子，并对预条件子的性能进行了定量分析，结果说明该预条件子几乎不增加迭代的计算量，预处理后的条件数接近1。

病态稀疏线性方程组；lagrange形函数；特别结构；条件数；预处理

大规模稀疏线性方程组的迭代求解是科学计算和工程中经常遇到的问题[1-3]，其中方程组过高的条件数经常制约求解精度和效率，因此，在迭代求解之前，通过对方程组使用预处理技术来降低条件数，成为提高求解精度和效率的必要措施。所谓“预处理技术”是指在求解方程组时，如果A的条件数Cond(A)太大，则构造矩阵D≈A，使得D-1比A-1容易计算，D-1A的条件数 Cond(D-1A)＜＜Cond(A)，从而方程组（1）化成同解的、条件数更小的方程组

矩阵D称为预条件子或者预处理器[4]。在解决实际问题中，经常遇到高条件数（病态）的稀疏线性方程组，而且条件数随着问题规模的增加而增加[5]，成功的迭代求解，往往以适当的预条件子作为前提，否则，迭代过程可能很慢，甚至不收敛。……