J—可逆环的概念与特点研究

李东方��

摘 要 引进了J—可逆环的概念，证明了与一些其它环的关系，得出结论若R是J—可逆环，e∈E（R），则eRe是J—可逆环，环的J—可逆性不是Morita不变性质。

关键词：可逆环；Jacabson根；J—可逆环

中图分类号：TB 文獻标识码：A doi：10.19311/j.cnki.16723198.2017.21.111

1 引言

交换理论是代数学的重要分支，其理论和方法在代数几何、代数数论等数学分支有着重要的应用，为了将交换环的性质推广到非交换环上，代数工作者对交换性进行推广。文[1]定义了可逆环，R称为可逆环，如果任意ab=0蕴含ba=0，显然，对称环是可逆环，文[2]定义了弱可逆环，R称为弱可逆的，如果任意a，b，r∈R蕴含Rbra（等价地，braR）是R的诣零理想.为了更好的研究环的交换性，本文引进了J—可逆环，如果对任意a，b∈R， ab=0蕴含bRaJ（R）； R称为中心可逆环，如果任意的ab∈R，ab=0，蕴含bRa∈Z（R）。

2 基本性质

设R是环，J（R）表示R的Jacabson根，Z（R）表示R的中心，N（R）表示R的幂零元的集合，R称为中心对称的，如果任意a，b，c∈R，abc=0蕴含bac∈Z（R）， R称为弱对称的，如果任意a，b，c∈R，ab=0蕴含bac∈N（R）。

定义1环R称为J—可逆环，如果对任意a，b∈R，ab=0蕴含bRaJ（R）； R称为中心可逆环，如果任意的ab∈R，ab=0，蕴含bRa∈Z（R）。

命题1

（1）对称环和可逆环是J—可逆的。

（2） R是可逆环当且仅当它是1一可逆环。

（3）弱对称环是J—可逆的。

（4）中心可逆环是J—可逆的。

证明：（1）与（2）是显然的，下证（3）与（4）成立。

（3）假设R是弱对称环，a，b∈R，满足ab=0，则任意r，t∈R有rabt=0，因为R是弱对称的，于是brat∈N（R），从而braR∈N（R），这说明。braR是R的诣零右理想，故bra∈J（R），由r的任意性知bRaJ（R），R是J—可逆环。

（4）假设R是中心可逆环，a，b∈R满足ab=0.则任意r∈R，bra∈Z（R）。

因为（bra）2=0， braR是R的幂零理想，所以bra∈J（R），R是J—可逆环。

命题2

（1） R是J—可逆环，当且仅当对任意a，b∈R，ab=0蕴含ba∈J（R）。

（2）局部环是J—可逆环。

（3）如果R/J是可逆环，则R是J—可逆环。

证明：（1）仅证充分性.假设a，b∈R，满足ab=0，于是任意r∈R有rab=0.据条件得bra∈J（R），因r是任意的，从而bRaJ（R）。……