变限积分函数的求导和应用

朱忠华

摘要：变限积分函数是微积分中一类具有特殊形式的函数，它是联结众多知识点的纽带，是学生学习的重点和难点，在微积分中有广泛的应用。本文介绍了积分上限函数的概念及其特有的求导性质，并结合实例深入讲解变限积分函数的求导以及其在微积分各主要内容中的应用。

关键词：变限函数；不定积分；定积分；导数；连续

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）38-0211-03

一、前言

一元函数微积分[1-3]部分主要涉及六个概念，即极限、连续、导数、微分、不定积分、定积分以及三个定理即微分中值定理、积分中值定理、微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）。在这六个概念中，除了不定积分，其他五个概念都是某种形式的极限，所以它们由极限联系了起来。为了要说明不定积分与其他概念的联系时，引入了积分上限函数，得出了牛顿—莱布尼兹公式，从而揭示了不定积分与定积分、微分与积分的内在联系，不但解决了定积分的计算问题，同时微积分的六个重要概念也就相互联系了起来[4]。

二、变限积分函数的定义与性质

1.定义。对于闭区间[a，b]上连续的函数f（x），设x为[a，b]上的任一点，定积分f（t）dt显然存在，当x在[a，b]上任意变动时，对于每一个取定的x的值，

f（t）dt就有一个对应的值，这样就在[a，b]上定义了一个新的函数，称为变上限积分，又称为积分上限函数，一般记为Φ（x）=f（t）dt，x∈[a，b]。

这个概念是一个较抽象的概念，我们可以结合几何解释：Φ（x）表示一个以f（x）为曲边的曲边梯形的面积，当x给一个确定的值，Φ（x）有一个确定的值，所以又称Φ（x）=f（t）dt为面积函数。……