问题引领在高三物理压轴题教学中的应用

李胜强

1原题

如图1所示，粒子源靠近水平极板M、N的M板，N板下方有一对长为L，间距为d=1.5 L的竖直极板P、Q，再下方区域存在着垂直于纸面的匀强磁场，磁场上边界的部分放有感光胶片。水平极板M、N中间开有小孔，两小孔的连线为竖直极板P、Q的中线，与磁场上边界的交点为O。水平极板M、N之间的电压为U0；竖直极板P、Q之间的电压UPQ随时间t变化的图像如图2所示；磁场的磁感强度B=1L2mU0q。粒子源连续释放初速不计、质量为图1示意图图2U-t图像m、带电量为+q的粒子，这些粒子经加速电场获得速度进入竖直极板P、Q之间的电场后再进入磁场区域，都会打到感光胶片上。已知粒子在偏转电场中运动的时间远小于电场变化的周期，粒子重力不计。求：

（1）带电粒子进入偏转电场时的动能Ek；

（2）磁场上、下边界区域的最小宽度x；

（3）带电粒子打到磁场上边界感光胶片的落点范围。

2教学过程

教师：水平极板M、N的作用是什么？M、N之间的电压为U0这个信息怎么利用？

学生：水平极板M、N间形成一匀强电场，粒子源释放初速不计、质量为m、带电量为+q的粒子在M、N间做匀加速直线运动，由动能定理得：

qU0=12mv20-0

解得：

v0=2qU0m

教师：竖直极板P、Q的作用是什么？P、Q之间的电压UPQ这个信息怎么利用？

学生：竖直极板P、Q间形成一变化的电场，初速度v0=2qU0m的粒子在M、N间做类平抛曲线运动，利用运动的合成与分解，沿初速度方向做匀速直线运动（L=v0t），垂直初速度方向做匀加速速直线运动（y=12at2，a=qUPQmd）。

教师：电压UPQ随时间t变化的图像如图乙所示，垂直初速度方向做匀加速速直线运动，对吗？有没有反对意见？

学生迷惑，积极思考，小组交流，审视结论。

教师：题干中“已知粒子在偏转电场中运动的时间远小于电场变化的周期，粒子重力不计”这句话有什么用？怎么理解“远小于”这三个字？

学生：再次审题，思考“远小于”的理解。

教师：“远小于”能否理解为电场变化的周期很长，粒子在偏转电场中运动的时间很短，粒子在偏转电场中运动的过程中电场几乎不变化。

学生：这样的话，t=0时刻进入偏转电场的粒子不受电场力作用，沿直线运动到O点，t=T2时刻进入偏转电场的粒子做类平抛运动，a=qUPQmd=q×3U0m×1.5L=2qU0mL。

教师：不同时刻进入偏转电场的粒子的命运是否不同？类平抛运动的加速度是否不同？垂直初速度方向的最大偏转位移怎样计算？

学生：积极思考，体会最大位移的影响因素，y=12at2=12×2qU0mL×L2v20=qU0Lmv20，不同时刻进入偏转电场的粒子的命运略有不同，偏转电压为零时刻进入偏转电场的粒子将沿直线运动，偏转电压不为零时刻进入偏转电场的粒子将做类平抛运动，不同时刻进入的类平抛的加速度也不同（a=qUPQmd）。

教师：不同时刻进入偏转电场的粒子在进入匀强磁场时的速度有什么区别？（提示可从速度的大小和方向两个角度分析）

学生：0～12T时间内进入偏转电场的粒子，在匀强磁场中的速度v的大小随着偏转电压UPQ的增大而增大，偏离v0的夹角，随着偏转电压UPQ的增大而增大，进入匀强磁场后在磁场中磁偏转的圆心角随着偏转电压UPQ的增大而减小。

教师：如图3所示，假设进入匀强磁场时的速度v偏离v0的夹角为α，怎样构建Δx与R的关系？

图3带电粒子在磁场中运动学生：利用三角函数和几何关系构建Δx与R的关系为Δx=R-Rsinα=R（1-sinα）。

教师：联系电加速、电偏转和磁偏转阶段的物理规律，能否推导出Δx与R的最终关系式？

学生：可以。

Δx=R（1-sinα）=mvqB（1-sinα）

=mv0qB×1-sinαcosα=1-sinαcosαL

教师：结合推导的表达式，能否再结合数学知识求解Δx的最大值？

学生：利用函数求导的方法可求出当α=0时，Δx有最大值为L，故磁场上、下边界区域的最小宽度x=L。

教师：上图磁偏转过程中圆周运动的弦长与α有什么关系？是否α越大，弦长越短？

学生：构建Δs与R的关系为Δs=2Rcosα=2mvqBcosα=2mv0qB=2L，弦长为定值。

教师：t=0时刻进入偏转电场的粒子在进入匀强磁场经历磁偏转的轨迹是什么？此时打在感光胶片上的位置是什么？

学生：轨迹是半个圆周，打在感光胶片上的位置是距离O点2 L处。

教师：t=12T时刻进入偏转电场的粒子在进入匀强磁场经历磁偏转的轨迹是什么？此时打在感光胶片上的位置是什么？

学生：t=12T时刻UPQ=3U0，电偏转的位移y=12at2=12×2qU0mL×L2v02=12L，此時磁偏转的轨迹为一段劣弧，但弧长为定值2 L。故此时打在感光胶片上的位置是距离O点52L处。

教师：如图4所示，带电粒子在磁场中偏转的临界轨迹，体会“动态圆”、“缩放圆”、“平移圆”模型在本题中的呈现，你能否总结一下缩放圆、动态圆、平移圆模型的不同？

图4带电粒子在磁场中的偏转轨迹学生：当带电粒子的速度大小不变而速度方向不确定时，应考虑“动态圆”；当带电粒子的速度方向确定而速度大小不确定时，应考虑“缩放圆”；当带电粒子的速度大小和方向都确 定但入射点不确定时，应考虑“平移圆”。

教师：原题中不同时刻进入偏转电场的粒子在进入匀强磁场时的速度的大小和方向均不同，故体现了“动态圆”和“缩放圆”的结合，但磁偏转过程中圆周运动的弦长Δs与R的关系为Δs=2Rcosα=2mvqBcosα=2mv0qB=2 L，弦长为定值，体现了“平移圆”的应用。

学生：这道题真奇妙，恍然大悟！

教师：追加一个问题，t=14T时刻进入偏转电场的粒子在进入匀强磁场时速度的大小和方向如何？打在感光胶片上的位置是什么？

学生：t=14T时刻UPQ=32U0，vy=at=qU0mL×Lv0=qU0mv0=qU02m=12v0，tanθ=vyv0=12，v=vy2+v02=52v0，电偏转的位移y=12at2=12×qU0mL×L2v02=14L，此时磁偏转的轨迹为一段劣弧，但弧长为定值2 L。故此时打在感光胶片上的位置是距离O点94L处。

教师：本题是三圆共存背景下的习题设计，命题思路清晰，命题技巧高超，命题视觉独特，命题难度合理，是个不可多得的好题。

3教学反思

带电粒子在磁场中的偏转是高中物理的一个重点，“动态圆”、“缩放圆”、“平移圆”又是个难点，通过本题的问题引导，加强学生对物理问题的认识的思维提升，通过层层递进的问题设计，环环相扣，紧紧抓住变量与变量的关系构建情景，在变中找不变。

（1）偏转电压UPQ是个变量，但粒子在偏转电场中运动的时间远小于电场变化的周期，故粒子在偏转电场中偏转运动时，UPQ紧紧发生微小的变化，可以认为UPQ是个常量，这里实际上是利用微元的思想解决问题，当然也有近似处理的思想。不同时刻进入偏转电场的粒子做类平抛运动的加速度也不同（a=qUPQmd），因为UPQ是个常量，但也是个变量。

（2）不同时刻进入偏转电场的粒子在进入匀强磁场时的速度的大小和方向均不同，但磁偏转过程中圆周运动的弦长Δs与R的关系为Δs=2Rcosα=2mvqBcosα=2mv0qB=2L，弦长却为定值，体现了变中不变的物理规律。endprint