关于p-凸函数的不等式

时统业,李 军

(海军指挥学院 信息系,南京 211800)

关于p-凸函数的不等式

时统业,李 军

(海军指挥学院 信息系,南京 211800)

已有文献证明了h-凸函数的h-左导数、h-右导数的存在性和单调性.p-凸函数是h-凸函数的特例,所以p-凸函数的单侧导数存在且单调.借助单侧导数建立了p-凸函数的积分不等式,从而得到p-凸函数的加权Hermite-Hadamard型不等式的加强.

p-凸函数; h-凸函数; Hermite-Hadamard型不等式; 积分不等式

式(1)即Hermite-Hadamard不等式.

文[1,2]给出了由式(1)生成的两个差值的估计.

定理1[1,2]设h:[a,β]→ℝ是凸函数,则有

定理2[3]设是[a,b]上的凸函数,则有

作为凸函数的推广,文[4]引入p-凸函数的概念.

定义 1[5]设I⊆ℝ,若对任意x1,x2∈I和任意则称I为p-凸集.

定义 2[4,5]设I(⊆ℝ)是 p-凸集,f:I→ℝ,若对任意x1,x2∈I和t∈[0,1],存在或使得

则称 f为I上的p-凸函数.若不等式(2)的不等号反向,则称f为I上的p-凹函数.

若f为I上的正的p-凸(凹)函数,则f-1是 I上的 MH-凹(凸)函数[6].

文[5]讨论了单调p-凸函数的性质.文[7]利用凸函数与p-凸函数的关系建立了p-凸函数的Hadamard型不等式.文[8]从p-凸函数的定义出发建立了p-凸函数的Hadamard型不等式.

定理3[7,8]设f是[a,b](⊂(0,+∞))上的p-凸函数,则有

2001年,王良成在文[12]中引入了h-凸函数和h-导数的概念.

定义 3[12]设 h是[a,b]上的连续严格递增函数,f是定义在[a,b]上的函数,若对任意时,有

则称f是[a,b]上的h-凸函数.

定义 4[12]设x0∈(a,b),若极限存在,则称之为 f在x0处关于 h的左(右)导数,记为此时称f在x0处关于h-左(右)可导.

通常的凸函数就是h(x)=x时的 h-凸函数.一些由二元幂平均给出的凸函数对应着 h-凸函数.比如可以证明,f为调和平方凸函数[13]当且仅当是-凸的.f为 GH-凸函数[14]当且仅当是lnx-凸的.p-凸函数就……