涉及实零点的亚纯函数的Picard 型定理Ⅱ

赵海燕, 刘晓俊

(上海理工大学 理学院,上海 200093)

涉及实零点的亚纯函数的Picard 型定理Ⅱ

赵海燕, 刘晓俊

(上海理工大学 理学院,上海 200093)

超越亚纯函数; 实零点;Picard型定理; 正规族

1 问题的提出

1959年,Hayman[1]证明了如下的Picard型定理:

定理1 设f是复平面C上的亚纯函数,k∈+,若f≠0,且f(k)≠1,则f≡常数.

1979年,顾永兴[2]证明了对应的正规定则:

定理2 设F为区域D内的亚纯函数族,k∈+,若对任意f∈F,f≠0,且f(k)≠1,则F在D内正规.

2013年,童晓丽等[3]从另一方面将定理2中的限制条件“f≠0”减弱为“f的零点分布在一条直线上”,得到定理3.

定理3 设F是定义在单位圆盘D上的亚纯函数族,若存在M≥0,使得对任意的f∈F,有:

b.f的零点分布在一直线上;

c.f的极点重级m≥3;

d.f′≠1.

则F在D上正规.

2015年,洪苏敏等[4]又将定理3中的条件“f′≠1”改为“f′≠zd”,得到定理4.

定理4 设d∈+,F是定义在单位圆盘D上的亚纯函数族,若存在M≥0,使得对任意的f∈F,有:

b.f的零点分布在一直线上;

c.f的极点重级m≥3;

d.f′≠zd.

则F在D上正规.

2003年,Bergweilier等[5]将定理1中的条件“f(z)≠0”减弱为“f的零点和极点除有限多个外都是重级的”,并把例外值推广到“不恒为零的有理函数”,得到定理5.

定理5 设f是一个超越亚纯函数,R是一个有理函数,且R≢0,f的零点和极点除有限多个外都是重级的,则f′-R有无穷多个零点.

2016年,徐成雨等[6]在定理5的基础上,把“f的零点是重级的”减弱为“f只有实零点”,得到了例外函数是多项式的Picard型定理6.

定理6 设d∈+,f是复平面C上的超越亚纯函数,若存在M≥0,使f满足:

b.f的零点均为实数;

c.f的极点重级至少为3.

则f′-zd有无穷多个零点.

本文在定理6的基础上进一步考虑例外函数是有理函数的情况,得到定理7.

定理7 设……