中考里的“一元二次方程”

诸广平

中考里的“一元二次方程”

诸广平

考点一：一元二次方程根的定义

例1（2016·雅安）已知关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（）.

A.4，-2B.-4，-2C.4，2D.-4，2

【分析】由题意，方程有一个实数根为2，根据根的定义，当x=2时，方程左右两边相等.因此只需要将2代入原方程，即可求得m的值，另一实数根自然也可以轻松求得.

解：把x=2代入原方程得：4+2m-8=0，因此m=2.原方程即为x2+2x-8=0，求得另一根为-4，因此选D.

考点二：判别一元二次方程根的情况

例2（2016·自贡）已知关于x的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0有实数根，则m的取值范围是（）.

A.m＞1B.m＜1C.m≥1D.m≤1

【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0有实数根，可知Δ≥0，从而可以求得m的取值范围.

解：由题意得Δ=b2-4ac=22-4×1×［-（m-2）］≥0，m≥1，选C.

例3（2016·莆田）关于x的一元二次方程x2+ax-1=0的根的情况是（）.

A.无实数根

B.有一个实数根

C.有两个相等的实数根

D.有两个不相等的实数根

【分析】先计算判别式的值，然后判断方程根的情况.

解：∵Δ=a2+4＞0，故选D.

考点三：根与系数的关系

例4（2016·威海）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根，且x1+x2=-2，x1·x2=1，则ba的值是（）.

解：∵x1+x2=-a=-2，x1·x2=-2b=1，解得a=2，b=.故选A.

例5（2016·烟台）x1，x2是一元二次方程x2-2x-1=0的两根，则x12-x1+x2的值为（）.

A.-1B.0C.2D.3

【分析】由根与系数的关系得x1+x2=2，x1·x2=-1，将代数式x12-x1+x2变形为x12-2x1-1+x1+1+x2，其中x12-2x1-1的值根据根的定义可得其值为0，再代入数据即可得出结论.

∴x12-x1+x2=x12-2x1-1+x1+1+x2

=1+x1+x2=1+2=3.故选D.

考点四：一元二次方程的解法

例6（2013·广州）解方程：x2-10x+9=0.

【分析】解一元二次方程通常有四种方法，即直接开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法.只要方程有实数根，配方法和求根公式法都是可以的，但要根据具体的方程选择合适的方法才不会让解方程变得很麻烦.直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程，解起来简捷轻松.因此，本题可以运用配方法、求根公式法和因式分解法三种方法求解.

解：方法一（配方法）：配方得（x-5）2=16，解得，x1=1，x2=9.

方法二（求根公式法）：因为Δ=100-36= 64＞0.由求根公式解得，x1=1，x2=9.

方法三（因式分解法）：（x-1）（x-9）=0，解得，x1=1，x2=9.

考点五：一元二次方程的应用

例7（2016·台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）.

【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x-1）场，再根据题意列出方程为x（x-1）=45.故选A.

例8（2014·毕节）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元.每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.

（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；

（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次.

【分析】列方程解应用题的一般步骤如下：（1）审题：读题，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系；（2）设元：就是设未知数，根据题意，选择适当的未知量，并用字母表示出来，设元又分直接设元和间接设元；（3）列方程：根据题目中给出的等量关系，列出符合题意的方程；（4）解方程：求出所列方程的解；（5）检验：检验未知数的值是否符合题意，特别在检验时，对一元二次方程的两个根一方面要结合生活实际检验，另一方面要结合具体的问题检验；（6）写出答案.

解：（1）y=［6+2（x-1)］×［95-5（x-1)］，整理，得y=-10x2+180x+400.

（2）由-10x2+180x+400=1120，化简，得x2-18x+72=0，解得x1=6，x2=12（不合题意，舍去）.所以，该产品为第6档次的产品.

例9（2013·重庆）“4·20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送，计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完.

（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？

（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶.为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑m次，小货车每天比原计划多跑m次，一天刚好运送了帐篷14400顶，求m的值.

【分析】（1）把握两个等量关系，一是“大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶”，二是“大、小货车两天恰好运完16800顶”，利用这两个等量关系可设一元（或二元）建立一元一次方程（或二元一次方程组）解答；（2）在第（1）小题所得数据的基础上，一方面需用常数或含m的式子表示大、小货车每次的运输量和实际每天的运输次数，另一方面，需抓住“2辆大货车和8辆小货车一天共运送帐篷14400顶”这个等量关系式解答.

解：（1）设小货车原计划每辆每次运送帐篷x顶，则大货车原计划每辆每次运送帐篷（x+200）顶，根据题意，得

2［8x+2（x+200）］=16800，解得x=800.

x+200=800+200=1000.

答：大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶、800顶.

（2）根据题意，得

2（1000-200m）+8（800-300）（1+m）=14400，

化简为m2-23m+42=0，

解得m1=2，m2=21.

∵1000-200m不能为负数，且m为整数，∴m2=21不符合实际，舍去，故m的值为2.

（作者单位：江苏省无锡市张泾中学）