线面平行、垂直的证明

陈忠

线面平行

在立体几何中，常用下列两种方法证明线面平行.

方法1：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直線和这个平面平行；表示为符号语言：[a∥b，a?β，b?β?a∥β.]

方法2：如果两个平面互相平行，那么其中一个平面内任意一条直线和另一个平面平行；表示为符号语言：[α∥β，a?α?a∥β.]

方法1就是我们常说的直接法，即在已知平面内找到一条直线和已知直线平行，这条直线通常是与已知直线相对应的成比例的线段（中位线居多），又或者是已知直线在已知平面内的射影. 而方法2为间接法，即找到并证明经过已知直线且平行于已知平面的平面，就可以证明相应的线面平行.

点评 利用间接法证明线面平行，关键是找到面面平行. 通常是过已知线段的两端，作两条相交的直线，且这两条相交直线与已知直线围成的三角形所对应的平面，与已知平面平行即可. 中间过渡证明面面平行时，一定要证得两组线面平行，而非两组线线平行. 为简便表达，通常可以在证明出一组线面平行后，另一组用“同理”来简化证明.

点评 在寻找两组线线垂直时，必须是两条相交的直线均和已知直线垂直. 除了使用相关垂直的性质证明线线垂直以外，不要忽略了最基本的证明垂直的办法，即计算证明. 当题目所给的条件，以长度关系居多时，往往需要通过计算来证明垂直.endprint