制作分角器

马爱平（摘编）

制作分角器

马爱平（摘编）

在一次数学活动课上，同学们研究利用角尺平分一个角，进而设计出分角器（如图1）.他们设计了两种方案.

方案1：∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.

图1

方案2：∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.

那么，这两种方案是否都可行？

方案是否可行，关键是看能否应用全等三角形的判定方法得到OP是∠AOB的平分线.

方案1不可行，因为缺少说明三角形全等的条件.在方案1中，根据已有条件PM=PN和OC= OC，结合“HL”定理可知，只要继续移动角尺使PM⊥OA，PN⊥OB，此方案就可行了.

方案2可行，由OM=ON，PM=PN，OP=OP，有△OPM≌△OPN，从而∠AOP=∠BOP，即OP是∠AOB的平分线.方案2给出了作角平分线的简捷方法.

我们已经学习了用尺规作角平分线，自然会联想到用尺规作三等分角的问题.你可能认为，这个问题就像用尺规作角平分线一样，十分简单，其实不然，它是世界著名的难题.

三等分角问题是二千四百年前，古希腊人提出的几何三大作图问题（问题1：化圆为方——求作一个正方形使其面积等于一个已知圆的面积；问题2：三等分任意一个角；问题3：倍立方——求作一个立方体使其体积是一个已知立方体体积的二倍）之一，即用圆规与直尺（没有刻度，只能作直线的尺）把一个任意角三等分.问题的难处在于作图工具的限制.这个问题曾吸引着许多人去研究，但无一成功.1837年凡齐尔（1814－1848）运用代数方法证明了这是一个尺规作图的不可能问题.

人们还发现，只要去掉“尺规作图”的限制，三等分角并不是一个很难的问题.古希腊数学家阿基米德（公元前287－公元前212）发现只要在直尺上固定一点，便可得到三等分角的分角器：

图2

如图2，在直尺边缘上添加一点P，设直尺的一个端点为O，所要三等分的角是∠ACB，以C为圆心，OP为半径作半圆，交角的两边于点A、B，使O点在CA的反向延长线上移动，P点在圆周上移动，当尺通过点B时，连接OPB，由于OP=PC= CB，所以

（作者单位：江苏省兴化市戴泽初级中学）