让概念课更加自然、合理

徐雯雯

一、 教学内容

人教版选修2—1第二章第一节：曲线与方程

二、教材分析

曲线属于“形”的范畴，方程则属于“数”的范畴，它们通过直角坐標系而联系在一起，曲线的方程是曲线几何的一种代数表示，方程的曲线则是代数的一种几何表示。在直角坐标系中，点可由它的坐标来表示，而曲线是点的轨迹，所以曲线可用含x、y的方程来表示。“曲线和方程”这节教材，揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一，对解析几何教学有着深远的影响，曲线与方程的相互转化，是数学方法论上的一次飞跃。

由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容，因而学生用解析法研究几何图形的性质时，只有透彻理解曲线和方程的意义，才能算是寻得了解析几何学习的入门之径。求曲线与方程的问题，也贯穿了这一章的始终，所以应该认识到，本节内容是解析几何的重点内容之一。本节中提出的曲线与方程的概念，它既是对以前学过的函数及其图象、直线的方程、圆的方程等数学知识的深化，又是学习圆锥曲线的理论基础，它贯穿于研究圆锥曲线的全过程，根据曲线与方程的对应关系，通过研究方程来研究曲线的几何性质，是几何的研究实现了代数化。数与形的有机结合，在本章中得到了充分体现。

三、教学目标

1.知识目标

1、了解曲线上的点的坐标与方程的解之间的一一对应关系；

2、初步理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；

3、学会根据已学知识为切入点，引起关注，引发数学思考进而分析、判断、

归纳结论

4、强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

2.能力目标

1、在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；

2、能用所学集合知识理解新的概念，从中体会转化化归的思想方法，提高思

维品质，发展应用意识。

3.情感目标

1、通过问题的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；

2、通过问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

四、教学重点、难点

1.教学重点

理解曲线的方程和方程的曲线的概念

2.教学难点

对曲线的方程和方程的曲线间的对应关系的理解

五、教学过程

【问题引入】设计问题，激发兴趣，提出问题

问题1. 你能找到这些常见曲线（抛物线和椭圆）在现实生活的原型吗？

问题2. 构成曲线的基本元素是什么？曲线如何形成？

问题3. 请例举一些学过的曲线

问题4.我们可以用什么方法研究这些曲线？

说明：1.通过问题串的形式，并且从学生熟悉的模型出发，让学生回顾构成曲线的基本元素是点，而曲线是满足一定条件的点的轨迹。进一步回顾以前所学习过的曲线，以及通过方程去研究直线与圆的基本思想，从而引出课题。

2.教师设计了一个好的问题（情境），可以建立数学与生活的联系，唤起学生的经验，引起学生的关注，引发数学思考，引出数学问题，并且在创设情境的过程中，鼓励学生发现数学规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程。

【问题引学】提出问题，引发思考

问题5

曲线：一、三象限角平分线；

方程：（1） ；（2） （3） 。

你能找出第一、三象限角平分线的方程吗？

问题6：以后怎么看方程表示曲线，曲线表示方程？

说明：从学生已学知识为切入点，引起学生的关注，引发数学思考，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程。使学生不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、反思与建构等思维过程。让学生在问题中体会曲线的上的点与方程的解的一一对应关系，引出概念。

【概念形成】通过观察归纳，形成概念，帮助学生建立数学理论

曲线的方程、方程的曲线的定义：

一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程 的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上的点的坐标都是方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

说明：1.结合问题5、问题6，尝试归纳，生成概念。在拿出（1）后可以问学生有没有必要，（1）够不够？还有一个你觉得是什么？设法让学生归纳出第二条。

2.由特殊到一般，从简单到复杂，使新知的建构顺畅和自然，既体现在教师引导下学生自我建构，又使学生感到知识之间并不是孤立的，而是相互联系的，他们是一个相互联系的、密切相关的整体。

3.深化概念：让学生从集合的角度去体会，曲线的点集用C表示，方程 的解集用F表示。条件（1）即 条件（2）即 ，所以 。让学生去体会曲线的点与方程的解的一一对应关系。

【例题分析】通过运用，巩固概念

例1.请判断正误，并说明理由

（1）到x轴距离等于1的点的轨迹方程为y=1；

（2）三角形ABC的顶点A（0，-3），B（-2，0），C（2，0），D为BC中点，则中线AD的方程为x=0.

（3）已知点A（2，0），到点A的距离为2的点的轨迹方程为x2-4x+y2=0

例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k（k>0）的点的轨迹方程是xy=±k.

说明：1.例1让学生进一步深化曲线和方程的定义，定义中的（1），（2）两条缺一不可。并且提升到理论层次，让学生指出如果不符合，不符合的是哪一条。2.例2首先引导学生如何证明。引导学生从两方面进行证明。点和解指的都是有关集合中的全体元素，怎样解决全体问题。让学生体会用“任意一个”代表“全体”是数学证明中常用的方法。最后师生共同来归纳证明已知曲线的方程的一般方法和步骤。第一步，设 是曲线C上任一点，证明 是 的解；第二步，设 是 的解，证明点 在曲线C上。

并且进一步引导学生感受证明已知曲线的方程与证明充要条件的联系，使学生把现有的知识与以前的知识进行联系。

数学概念是要在运用中得以巩固，通过练习，可以纠正错误的认识，促使对概念的正确理解。

【课堂小结】

1、曲线的方程和方程的曲线的概念

2、基本思想与方法

数形结合的思想 ， 转化与化归的思想

说明：让学生回顾、总结、联系、整合、提高认识、理解。endprint