浅谈中学数学教学中的反证法

刘青

摘要：反证法是中学数学中常用的一种证明方法，在应用反证法的过程中要根据命题的性质进行推理论证。其基本的思路就是假设所要证明的结论不成立，再在这个假定条件下进行逻辑推理，得出一个矛盾结论。

關键词：中学数学 反证法 证明

中图分类号：G633.6

反证法是数学中常见的一种证明方法，它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。当命题的结论的反面只有一种情况，只要推翻这一种情况就能肯定结论，这种反证法叫归谬法；当命题的结论的反面不只一种情况，则需要将反面情况一一推翻才能肯定结论，这种反证法叫穷举法。那么反证法的理论根据是什么？反证法是否就是证明原命题的逆否命题？怎样应用反证法？怎样的命题适合用反证法证明？本文拟就这些问题做初步探讨。

1.反证法的定义

反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。

不妨设原命题为 是推出结论，s一般是条件、某公理、定义、定理或临时假设，用数学术语可以简单地表示为： 即 。

2.反证法的基本思路

首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立，这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。

3.反证法的一般步骤

首先假设命题的结论不成立，其次从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾，最后由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

第一步：审题，弄清命题的前提和结论；

第二步：否定原命题，由假设条件及原命题构成推理的基础；

第三步：由假设出发根据公理、定义、定理、公式及命题的条件，正确逻辑推理，导出逻辑矛盾；

第四步：肯定原命题的正确性。

4.反证法的应用

反证法从否定命题的结论开始，然后推出矛盾，这就给证明原命题增加了条件。因此，如果“结论反面”较“结论”更具体、更简单，而直接证明又好下手，则可考虑应用反证法，具体来说，究竟什么样的命题用反证法证明比较方便呢？可归纳如下几个方面：

需要注意的是，我们只有用反证法证明一个正确的命题时才能导致矛盾，如果用反证法证明一个显然不成立的命题，在证明的过程中就不会产生矛盾。所以，我们应用反证法时，只要待证命题正确，只要推理正确，就一定会导致矛盾的出现，否则，不是待证命题错误，就是我们的推理有错误，本文就反证法的定义、逻辑原理、证明模式，以及解题的方法来说明反证法在中学数学中的应用，使大家对反证法有了更深刻的了解。

参考文献：

[1]赵雄辉.证明的方法[M].湖南：湖南人民出版社，2001：85-92.

[2]廉蒙.巧用反证法证明代数题[J].北京：思路·方法·技巧，2004.endprint