受地球引力作用一类运动的“运动周期”赏析

郑学鉴

在地球引力的作用下，无论是近地卫星还是远地卫星以及人们常猜想的将地球开一隧道，将物体从隧道口放入，它将会以怎样的形式运动？它能否“走出”隧道，到达地球的另一面？在这里我们会知道，它们的运动是周期性的运动，我们还会有趣的发现以上几种运动的周期有非常相同的表达形式.

1、设想将地球开一隧道，将物体从隧道口放入，物体到达地球内某处时，物体在距地心距离为r时，大于r的部分对它没有引力，只有小于r的部分对它有引力。设地球的半径为R， 地球总质量为M，小于r的部分地球质量为 ， 地球的平均密度为 此时它受到的力（万有引力）：

F=G =Gm =Gm = Gm

= = kr （其中k= ）

受到的力与他到平衡点（地心）的距离成正比，方向指向球心，与位移方向总是相反，所以它所做的运动是简谐振动.

周期为：

T= = = = ………（GM=g ）

=

即： T =

2、近地卫星周期：满足

G =m R

=

T=

，亦得T =

它與“地球通道”物体在地球内往返运动的周期完全相似，都是受地球引力作用而引起的一类运动。因此可以把“地球通道”运动的物体看作是近地卫星运动在“通道”垂直方向在“通道”上投影的运动，反之也可以把近地卫星的运动看作是

“地球通道”做往返运动的“参考圆”.

从动力学方面分析：它沿“通道”方向，如图，

沿通道方向建立平面坐标系x轴，

回复力大小

F=Fcosα= G cosα

= G cosα

= G cosα

= G （令k= G

F = - k ， 所以它在x方向上所做的运动是简谐振动.由T= 将k值代入

T= ，

同样得到：T =

3、对于地球远轨道卫星，其在x方向上的分力

F=Fcosα= G cosα

= G cosα

= G cosα

= G （令k= G

F = - k ，所以它X方向上的运动是简谐振动.

由T= 将k值代入

T= ， 这里mg= G GM=g .

得到类似表达形式：T=