中国古代记数法及其数学教育意义

胡重光

谈到中国古代数学，不由得对我国不久前去世的著名数学家吴文俊先生产生深深的怀念。他是第一位认识到中国古代数学的特点和重大意义的数学家。1992年，在《纪念李俨钱宝琮诞生100周年国际学术研讨会贺词》中，他对中国古代数学作了如下的评价：“中国传统数学的发展，自有其与西方迥异的途径与体系。位值制是我国独有的重大创造。奠基其上的各种算法化的计算方法，是我国传统数学的特点之一，通过天元的引进，并使一些幾何问题也可有系统地化为方程问题进行算法化的处理。近代数学之所以凌驾于以往数学之上，一个关键的转折点是解析几何的创立……使艰涩难行的欧几里得式演绎推理转化为易于驾驭的单纯计算，而这正是我国传统数学的特色与所遵循的基本道路……”

本文仅就我国独创的位值制记数法进行一个初步的探讨。

我们现在的记数法全称叫“十进位值制记数法”。采用这种记数法，只用10个符号，就可以记下无论多大的数（从理论上说），并且书写和计算都十分简便，以至于马克思称之为“人类最妙的发明之一”。但是这一发明不是一蹴而就的，而是经历了漫长的发展时期。记数法的发展史包含深刻的数学思想，对数学教育有重要的启发作用。

人类最初的记数法，按使用的符号的性质，可大致分为三类。第一类是用专门的符号来记数的，古埃及、巴比伦和玛雅人的记数法都属于这一类。

巴比伦人的文字是刻在泥板上的，因此呈楔形，有趣的是1和60的符号只有大小的不同。古埃及的记数法是以10为基的，巴比伦的记数法则是以60为基的。玛雅人的记数法的主要特点是使用了一个专门代表20的符号，形状像一个人的面部，并且是以20为基的。所有这些符号都是特别造出来用于记数的。

第二类是用现成的字母来记数，古希腊、罗马、印度的记数法都属于这一类。希腊字母有27个，古希腊人用头9个字母代表1到9的数，中间9个字母代表10到90的数，末9个字母代表100到900的数。古罗马人的记数法现在还常用来标记顺序，他们只用7个大写字母记数，并有一套记数规则：相同的字母排在一起表示相加；较小的数排在较大的数的左边表示相减，排在右边表示相加；在一串数字的右下方加一个m，则表示把这个数扩大1000倍。例如，29635用古罗马记数法写成：XXIXmDCXXXV。

M·克莱因的《古今数学思想》上载有公元前3世纪后印度的一套记数符号（如图所示）。

他认为“这一组记号的出色之处是它给1到9的每个数都有单独的记法”，并推测“这种写法也许是由于以该数名称的第一个字母来代替它而产生的”。如果他的推测正确，则这种记数法也属于第二类。

这两类记数法的一个共同特点是，都用重复书写某一个符号的方法表示更大的数。例如，要表示500，就要把表示100的符号写5次。数学史家称之为“加法累数制”。这种方法有两个缺点：一是书写很长，很大的数几乎难以记数；二是计算非常困难，即使专家也很难掌握。例如，古罗马记数法用M代表1000，要写一百万，就要写1000个M。

第三类是中国古代和受其影响的亚洲一些地区的记数法。据钱宝琮的研究，殷墟甲骨文中有以下13个记数符号（如图所示）。

与前两类记数法比较后可以发现，在古埃及记数法中，十、百、千、万的符号是数字，而在中国古代记数法中，这些符号不是数字，而是计数单位。中国古代的记数符号分为两类：数字符号和单位符号。10以上的数要用两种符号结合起来记，例如，500记为“五百”不用把“百”的符号连写五次。这样，不但记数很简单，而且计算时只要对相同计数单位的量数作计算就可以了，所有的计算都归结为10个数码的计算，十分简便。在甲骨文中，数字符号和单位符号是合写在一起的。以后的记数法已不用合文，例如，8620记为“八千六百二十”。除了没有“零”外，与现代汉语的记法已没有什么区别。

中国很早就有了系统的计数单位，《国语·郑语》记载史伯对郑桓公说：“合十数以训百体，出千品，具万方，计亿事，材兆物，收经入，行女亥极。”这段话清楚地表明，中国古代的记数法使用了计数单位，其中十、百、千、万、亿、兆、经、女亥都是十进的计数单位。采用这种记数法，很自然地把一个数字的各计数单位按从大到小的顺序排列，很有规律。

采用计数单位是十进位值制记数法发展的关键一步。奇怪的是，在众多的古代文明中，只有中国古代文明做到了这一点。

到公元前2世纪之后，中国的记数法又有了新的发展，出现了算筹记数法。这种记数法采用小竹棍来摆数字，其记数符号与以前的很不相同，并有纵式和横式两种：

省略计数单位是十进位值制记数法发展的又一关键，而且十分巧妙：单位虽然没有了，但它的作用还在，而记数法却大大简化了，达到了完美的地步。

如果我们把算筹体的数字写在纸上就会发现，表示0的空位很容易出错或误解，特别是几个0连在一起时，于是用一个符号表示空位就大有必要了。我国古代通常用□表示空位，为了书写快捷，把□写成0是很自然的。由此看来，0的采用，应该是中国古代记数法合乎逻辑的发展结果。西方数学史家一般认为0是印度人发明的，但是至今无人对发明的过程作出合乎逻辑的说明，虽然古印度数学对0的特点（如不能做除数）做了一些研究，但这并不能作为发明0这个符号的证明。endprint

由算筹记数法又发展出珠算（珠算产生的年代已很难确定，中国有关算盘的记载最早出现在3世纪前后的《数术记遗》一书），珠算的记数法与算筹记数法基本相同，但珠算计算速度极快。算盘是中国古代最优秀的计算工具，它在数学教育上的价值更是宝贵的。

回顾记数法的发展过程我们看到，记数法经历了最初不用计数单位，进而采用计数单位，最后又省略计数单位这样一个“否定之否定”的发展过程。计数单位在记数法的发展中起到了决定性的作用。美国著名科普作家I·阿西莫夫说“从无开始计数”，意思是0是记数法的关键数码。以上分析表明，0的产生是省略计数单位的结果，因此单位才是记数法的关键因素，应该说“从单位开始计数”。

进一步还可发现，记数法与记量法是一致的，计数单位相当于计量单位。例如，长度的记量就是先确定一系列长度单位：毫米、厘米、分米、米……以及相邻单位的进率。如果规定最小单位为厘米，相邻单位的进率为10，则记10米以下的长度时，也可以像省略计数单位一样省略长度单位。例如，3米5分米5厘米记为355也是清楚明白的。这时，若要把两个长度相加，只要对好位，就像两个整数相加一样了。如果儿童明白了这些规则，他们就懂得了355这个长度中为什么两个5所代表的长度不相同，也不会把5分米5厘米写成505。

以上的事实和分析启示我们，计数单位是理解多位数记数法和四则运算法则的关键。由此我们可以得出，多位数的认识和四则运算的教学应按以下步骤进行：

1.首先，学习0至9的数码。

2.其次，学习进率为10的常见量的记量法，例如货币、长度。记量法比记数法更为具体，是看得见、摸得着的，又与儿童的生活实际紧密联系，因此儿童更易理解。并且学习记量法也为数码及其计算提供了应用的实例，使儿童看到数的用处，增强他们的学习兴趣。

3.再次，学习保留计数单位的多位数及其计算。例如，35应先写作3十5个，在计算时也带着计数单位进行。

4.最后，在儿童对这种带单位的数及其计算已熟悉后，再学习省略单位的多位数及其計算。

美国数学教学法专家J·W·海敦斯在谈到位值时说：“对于儿童来说，这是一个抽象的、很难理解的概念。”为了帮助儿童理解这一概念，小学数学教学采用了多种直观教具、学具，如中国的“数位器”、美国的“位值箱”等。即使如此，儿童仍常常出现把“一十五”写成105，把37+25的结果算成512之类的错误，在整数、小数加减法学习中的主要错误也出在进位和退位上。但是按照以上设计，有了第二步和第三步的学习，儿童将很容易理解所谓位值和进位、退位的概念。实际上，位值的概念也就不需要了，而进位和退位就相当于名数的聚和化。原来的抽象性完全不存在了，变得具体、简单、明白。这一改变使整数记数法及其计算的教学真正科学、易懂，并能节省大量时间。

（作者单位：湖南第一师范学院）endprint