中学数学中“化归思想”的研究

摘 要：“化归思想”是解决中学数学问题必不可少的指导思想。在中学数学中运用“化归思想”的主要思路在于通过“化归思想”指导，运用化归方法，将未解的数学问题化归转化为已经解决的数学问题，进而使解题思路更加简明，解题过程更加清晰，最终完成对中学数学问题的求解。在中学数学中结合“化归思想”运用化归方法进行解题，不仅是求解中学数学问题的重要途径，更是培养学生创造性思维和数学核心素养的重要方式。然而，从中学数学教学现状上看，“化归思想”在中学数学解题过程中的并未得到贯彻落实，化归转化方法在求解数学难题中的运用也未得其所。为此，有必要研究“化归思想”在中学数学教学中的运用实践以及如何运用“化归思想”来进一步提升中学生的数学解题能力。

关键词：中学数学；化归思想；化归转化；实践

“化归思想”最早是由莫斯科大学的一位数学教授提出，其主要涵义概括起来为：将所要求解的数学问题化归转化为已经解决过的问题。即将未解的数学问题运用已学过的数学知识来解决。

一 “化归思想”在中学数学中的渗透目标及方向

“化归思想”在中学数学中的渗透及应用的实质在于运用动态的、发展的眼光看待数学问题。在求解中学数学问题时，如果解题者观察、分析与思考问题的角度不同，那么其最终将问题化归转化的目标也相应的不同，所运用的解题方法也会有所不同。而“化归思想”的结合与运用，就是引导解题者在解题过程中，尽可能地站在便于求解的角度观察与分析问题，使所要求解的数学问题不断地向简单化、直观化、规范化的方向转化，进而求解出问题的答案。

二、等价转化思想与不等价转化思想

“化归思想”在中学数学中的应用该可分为等价转化思想和不等价转化思想两种。

1.等价转化思想

应用等价转化思想求解中学数学问题的主要优点在于该思想的应用形式较为多样，且应用方法也较为灵活。一般情况下，利用等价转化思想解决数学问题，既可以在宏观层面又可以在微观层面进行等价转化，前者如使用普通语言向数学语言方向转化，后者如将未知数学符号向已知数学符号的转化，即“恒等变形”。既可以在数与形方面，又可以在形与形、数与数之间转化。由此可见，等价转化思想的应用并非具有统一的模式，其应用的形式和方法也较为灵活多样。值得注意的是，利用等价转化思想求解中学数学问题需建立在转化前后两者之间存在互为因果的关系，只有这样才能运用等价化归思想。然而，在中学数学解题过程中，大多数情况是转化前后两者并非完全等价，面对这一情况，则需要引进不等价转化思想。

2.不等价转化思想

一般地，不等价转化思想在求解数学问题实践中应用的机会较多，且更能激发解题者创造性思维。前文提到，应用等价转化就是将互为因果且可互推的问题，转化为直观、简单、规范的知识，进而找到解决问题的重要突破。而应用不等价转化思想时，则需要在转化过程中加上一些附加约束，进而使其形成相对等价的关系。

三、化归转化的主要方法

1.恒等变形法

恒等变形法主要是利用数与数之间的等价转化关系，实现将未知问题向已知转化。在中学数学中，恒等变形法的主要运用大多在于求解三角方程和代数方程当中。

2.函数法

所谓函数法，顾名思义，即通过运用函数思想来求解非函数的数学问题，在中学数学解题中运用函数法主要是求解几何方程不等式问题和一些可转化为函数问题的代数问题。

3.分割法

分割法通常是对于求解涉及几何体及几何图形的相关问题。在遇到较为复杂的几何问题求解时，可考虑采用分割法将几何体或者几何图形分割成几个简单的几何图形组，再针对经过分割后的较为简单的结合图形进行部分求解，最终综合得出问题的最终答案。分割法是“化归思想”在求解中学数学几何问题中运用的最为常见的方法。

4.映射法

映射法是“化归思想”在中学数学渗透的重要方法之一，其主要是通过建立一一对应关系，将复杂的问题向简单化转化的一种形式。映射法较多地运用于将几何问题转化为代数问题、代数运算转化为几何运算等方面，前者如通过构建平面直角坐标系，实现将点与实数对、曲线与方程进行对应，从而变几何问题为代数问题。后者如在复数的运算中，也可通过建立复平面上的点向量，实现将复数代表运算转化为运用向量来解决的几何运算。

四、“化归思想”在中学数学的运用研究

在中学数学中结合“化归思想”运用化归方法进行解题，不仅是求解中学数学问题的重要途径，更是培养学生创造性思维和数学核心素养的重要方式。一方面，通过指导学生利用化归思想来求解数学问题，有助于锻炼和培养学生思维的逻辑性和缜密性，使其养成循序渐进、逐层递进的逻辑思维习惯。在具体教学实践中，教师可以采取讲与练相结合、且以练为主的方法，切实提升学生应用“化归思想”求解中學数学问题的能力，并通过练习强化学生运用化归转化解决实际数学问题的能力和技巧。另一方面，结合“化归思想”，还能有助于激活学生的认知活动能力，通过不断地化归转化问题，对问题的成分进行不断地变更，同时转换思考、分析问题的角度与方法，从而达到激活学生认知活动的能力。

参考问题

[1]马艳，马贵.化归思想方法在中学数学教学中的应用——以解方程为例[J].北京教育学院学报，（自然科学版）2012/03.

[2]战珊珊.如何利用映射实现化归思想在中学数学中的应用[J].才智，2012/33.

作者简介

何海波（1983-），男，重庆市酉阳县人，土家族，二级教师，本科，毕业于长江师范学院，研究方向中学数学教学。

（作者单位：重庆市酉阳土家族苗族自治县南腰界乡初级中学校）