函数一致连续性判断方法探究

钱耀飞

[关 键 词] 函数；一致连续性；判断方法

[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）13-0129-01

一致连续性作为函数的整体性质，是各类考试的重点考查内容，一方面概念本身很容易产生错误的理解和应用，特别是在与连续性做比较时，一致连续性比连续性要求更严格；另一方面，这个性质是第一次出现“一致”这个概念，这对后面研究其他“一致”的性质是特别重要的基础。

有关一致连续性的题目，简单可以分为两类，一类是判断函数是否是一致连续的，另一类就是已知函数具有一致连续性，给出相关应用或得出关于函数的其他性质。

一、常见证明一致连续的方法

（一）一致连续的定义

函数f在I上一致连续：

？坌ε>0，？埚δ>0，当x′，x″∈■（x0；δ）时，|f（x′）-f（x″）| <ε.

（二）康托定理（一致连续性定理）

若函数f在闭区间[a，b]上连续，则f在区间[a，b]上一致连续.

（三）利普希茨（Lipschitz）条件

存在常数L>0，使得对I上任意两点x′，x″都有

|f（x′）-f（x″）|≤|x′-x″|

则f在I上一致连续。

（四）综合多区间的不同性质，得出一致连续

二、一致连续的否定定义

？埚ε0，？坌δ>0（无论δ多么小），在I上总存在两点x′和x″，尽管|x′-x″|<δ，但|f（x′）-f（x″）|≥ε0。

三、函数连续性与一致连续性的异同点

（一）相同点

若f（x）在I上一致连续，则f（x）在I上连续；反之不成立（即若f（x）在I上连续，f（x）不一定在I上一致连续）。

（二）不同点

1.定义

函数f（x）在I上连续

？坌x0∈I，？埚ε>0，？埚δ>0，当x′∈■（x0；δ）时，|f（x′）-f（x″）| <ε

函数f（x）在I上一致连续

？坌ε>0，？埚δ>0，当x′，x″∈■（x0；δ）时，|f（x′）-f（x″）| <ε

2.对δ的要求

若函数f（x）在上I连续，对于I上的不同的点x0，相应的δ是不同的，也就是δ的取值除依赖于ε外，还与点x0有关，可记做δ=δ（ε，x0）

若函数f（x）在I上一致连续，δ的取值只与ε有关，而与x0无关，即存在适合于I上所有的点x0的公共的δ，记做δ=δ（ε），它对任意的x0适用。