Cauchy命题与ε 语言的关联及应用

◎黄毓

Cauchy命题与ε 语言的关联及应用

◎黄毓

本文介绍数学分析中的Cauchy命题与ε语言，从本质上阐述它们之间的关系，以数学语言为主，图表为辅来描述两种方法的异同及应用。极限的ε语言定义是非常精准但又极其抽象的定义，它广泛地出现在高等数学的各个领域，本文只针对于ε语言与Cauchy命题的相关性展开讨论。

从数学分析中最基础的数列极限定义开始，我们就接触了一种特有的语言：ε语言。例如：数列极限定义“ε—N”语言、函数极限定义“ε—δ”语言等。极限的ε语言定义是非常精准但又极其抽象的定义，它广泛地出现在高等数学的各个领域，本文只针对于ε语言与Cauchy命题的相关性展开讨论。在通用《数学分析》教材中，数列{ an}以数A为极限指

这一经典的分析定义，反映了极限是从静认识动，从近似认识精确，从有限认识无限的一种认识过程。Cauchy命题的证明也是基于此，用数列极限的定义来证明的。

Cauchy命题与ε语言的关联

Cauchy命题：若

证明如下：

于是，利用三角不等式，就得到

Cauchy命题的证明是基于ε语言，根据数列极限的定义来完成的。它的直观意义很明显：如果一个数列是收敛的，那么它是越来越平缓的，取平均的话，就算一开始起伏很大，也可以用足够大的n来抹平它。

Cauchy命题与ε语言的应用

既然Cauchy命题可以由ε语言证明，那么显然一切能用Cauchy命题证明的题目都可用纯粹的ε语言证明。以下面的题目为例，介绍上述两种方法的应用思路。

例：

证明如下：

方法一：

总结

对比上述两种方法，其本质是异曲同工的。……