一题多变，看函数y=Asin（ωx+φ）图像

郑荣坤

[摘 要] 对一道函数y=Asin（ωx+φ）图像题多变、错解、多解的研究，帮助学生识函数y=Asin（ωx+φ）图像，理解数y=Asin（ωx+φ）图像变换、应用.

[关键词] 函数图像；图像变换；图像应用

函数y=Asin（ωx+φ）图像是高中数学《三角函数》的高频考点，多以选择、填空题的形式出现于历年各地考卷中. 因此，高三数学教师要重视“函数y=Asin（ωx+φ）图像”的教学，力争让学生熟悉掌握函数y=Asin（ωx+φ）图像，图像变换、应用.

典例：看函数y=Asin（ωx+φ）图像

典例：已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，φ？摇< 在一个周期内的图像如图1所示，求y=f（x）的解析式.

图1

考点分析：由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图像，确定函数解析式.

危险解法：由图像容易看出，振幅A=2，周期T= -- =4π，ω= = ，由于ω>0，所以角速度ω= .

将 ，0代入函数解析式，得 × +φ=kπ（k∈Z），解得φ=kπ- （k∈Z）.

因为φ< ，所以k=1，φ= . 因此，f（x）=2sin + .

危险原因：上面解法看似很严密，危险出在何处？如果把“φ< ”改为“φ<π”，那么φ的值为多少？学生的答案：k=1，φ= 或者k=0，φ=- . 实际上，把“φ< ”改为“φ<π”答案不变，仍为φ= ，而同学们使用上述解法就产生了增根，所以才说上述解法是“危险解法”，给定的φ取值范围变大，根的个数就增多.

解法1（代零点求φ）：因为 ，0是函数的递减零点，所以将 ，0代入函数解析式，得 × +φ=2kπ+π（k∈Z），解得φ=2kπ+ （k∈Z）. 因为“φ<π”，

所以k=1，φ= .

解法2（代波峰点求φ）：将 ，2代入函数解析式，得 × +φ=2kπ+ （k∈Z），

解得φ=2kπ+ （k∈Z）. 因为φ< ，所以φ= .

解法3（五点法求φ）：将- ，0代函数解析式，由于点- ，0相当于正弦函数“五点法”作图中的第一个关键点，所以 ×- +φ=2kπ（k∈Z），解得φ=2kπ+ （k∈Z）. 因为“φ<π”，所以k=0，φ= .

评注：振幅A：看函数图像的波峰（或波谷）；角速度（角频率）ω：看函数图像周期；求初相φ既是难点也是易错点，求法两种：“代点法”、“五点法”. “代点法”可以选择代零点，也可以选择代波峰或波谷点，并且代波峰点可以得到ωx+φ=2kπ+ （k∈Z），代波谷……