探析一道解析几何题的求解策略

虞 懿

浙江省金华市第六中学 (321000)

探析一道解析几何题的求解策略

虞 懿

浙江省金华市第六中学 (321000)

解析几何的核心方法是用代数的方法研究图形的几何量(性质)，核心思想是“数形结合”．2017年高考浙江卷第21题，保持了浙江卷背景熟悉、入口宽泛、解法多样的一贯风格，细细品读深感底蕴纯厚，紧扣解析几何的思想精髓．本文从解决解析几何问题的核心思想出发，着重探究本题第(Ⅱ)问的求解策略．

图1

一、试题展示

(Ⅰ)求直线AP斜率的取值范围；

(Ⅱ)求|PA|·|PQ|的最大值．

品读：本题以抛物线为载体，主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、斜率与弦长等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．设计新颖，构思巧妙，耐人寻味，令人赏心悦目，体现了“能力立意”的指导思想，凸显了数学试题的选拔功能．

二、求解策略

(Ⅱ)策略1：选择恰当形式，实现几何量的代数表示

“几何量的代数表示”是解决解几问题的关键，在本题中的几何量是“|PA|·|PQ|”，用什么样的代数形式来表示这个几何量？对于弦长问题，很自然地联想到圆锥曲线的距离和弦长公式．而在解几中描述弦长的代数形式就是点或斜率，由此可想到用点坐标或斜率来表示几何量“|PA|·|PQ|”．

解法1：联立直线AP与BQ的方程

评析：联立两相交直线方程求出点Q的坐标，再根据两点间的距离公式，以斜率为参变量来表示弦长，建立目标函数．

评析：涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，通过设而不求计……