复合式低频隔振器的理论建模及其性能分析

吴 庭，王林翔

(浙江大学 流体动力及机电系统国家重点实验室，杭州 310027)

复合式低频隔振器的理论建模及其性能分析

吴 庭1，王林翔2

(浙江大学 流体动力及机电系统国家重点实验室，杭州 310027)

抑制低频振动是当前振动领域的一个热点问题，将惯容器与液压蓄能器结合在一起，同时利用形状记忆合金弹簧的超弹性，设计了一种将惯容器和拟零刚度隔振结合的复合式超低频隔振器。说明了超低频隔振的原理，分析了隔振器的力传递比，研究了惯容器惯容值以及弹簧刚度对系统谐振频率的影响。计算结果表明，所设计的超低频隔振器的谐振频率可以降低至1 Hz以内。

拟零刚度；惯容器；超弹性；超低频隔振

对低频振动激励的隔离和抑制，一直是难以解决的问题，因为通常采用的常规被动隔振，无法适应低频隔振的要求[1]。普通的橡胶隔振器，对激励频率在5～6 Hz的振动有较好的隔振效果。而对于2 Hz以下的振动，则多采用空气弹簧，它是利用气体压缩的非线性恢复力和阻尼力来缓冲冲击和振动[2]。空气弹簧隔振器的刚度和阻尼可进行调节与控制。然而主动振动控制的缺点就是成本较高，且需要时刻保证外加电源或气源[3]。

被动振动控制由于其结构简单，经济性好，可靠性高，不附加能量仍然具有较宽广的适用性[4]。如何对现有的被动隔振装置进行改进而使其具有低频甚至超低频隔振的特性，是许多学者的关注与研究的热点。 为解决低频隔振，一类方法是利用正负刚度并联使系统获得动态零刚度。Carrella等[5]利用四根倾斜弹簧和一根竖直弹簧构成了正负刚度并联的机构，理论和实验验证了其具有零刚度的特性。2011年，Le等[6]将这一正负刚度联合机构设计到了汽车座椅的支撑结构中去，有效地提高了系统的隔振效率。刘兴天等[7]设计了类似的正负刚度并联的机构，其中负刚度特性由屈曲欧拉梁产生。2008年，Mizuno等[8]曾提出过利用相互吸引的永磁铁来给系统提供负刚度，在此基础上，Carrella等[9]设计了将这一负刚度机构与提供正刚度的机械弹簧联合使用的机构。

第二类方法是增加被动隔振系统的惯性值，2002年，Smith[10]提出了惯容器的概念，可以为被动隔振系统提供高于自身质量几十倍的视在质量，从而有效地降低系统的固有频率，达到低频隔振的效果。现有的惯容器有多种形式，包括齿轮齿条式，滚珠丝杠式,液压式惯容器[11-13]。惯容器会产生一个与两个端点相对加速度成正比的力，这一比例系数又称为惯容器的惯容值。国内Xu等[14-16]尝试将其应用在汽车悬架上，从而提高汽车悬架的减振特性。

本文提出了一种将惯容器与拟零刚度特性结合的复合式低频隔振器，并且利用了形状记忆合金弹簧(SMA(Shape Memory Alloy) spring)的超弹性[17]。对复合式低频隔振器的动力学性能进行了建模，分析了隔振器的隔振效果，并分析了系统结构参数对于系统谐振频率的影响。为低频隔振器的设计提供了理论支持。

1 复合式低频隔振器的工作原理

本文所提出的复合式低频隔振器结构简图如图1所示。该复合式低频隔振器由上部惯容器和底部的液压缓冲与支撑装置构成。液压缓冲部分的顶壁有一部分是由弹性膜与其他部分相连的，SMA弹簧通过这一活动部分与内部油压平衡。

静止状态下，由于液压油的初始油压P0作用于活塞杆底部而支撑物体，使得系统具有给定的静态刚度。惯容器中置有上下两个很软的对中弹簧。当振源产生低频振动时，由于与振源相连的惯容器会会产生一个较大的视在质量，同时系统的振动通过活塞杆传入下方的液压缓冲与支撑装置中，形成了系统的动态低刚度。两者相结合使系统获得很低的固有频率，从而达到低频隔振的目的。

图1 复合式低频隔振器结构简图Fig.1 Structural diagram of hybrid isolator

图1中：活塞杆的面积为A1；活动薄膜的作用面积为A2。

2 复合式低频隔振器的动态模型

如图1所示，假设振动位移为x，惯容器中设有对中弹簧，总刚度为k1，惯容器的惯容值为b，液压油预置压力为P0。记振动质量为m。当振源无振动时，系统处于静止状态，整个机构保持静态平衡，可得

P0A1=mg

(1a)

P0A2=f(y0)

(1b)

式中，f(y0)为SMA弹簧的预压力。可以通过调整螺钉来调节弹簧的预压力。

当外界输入振动F0eiωt时，机构状态发生变化，整体保持动态平衡，系统中的惯容器在系统的动态过程中会产生与上下油口速度差成正比的力，这一比例系数即为惯容值b，系统的动态平衡方程为

(2)

式中：ΔP为液压油体积变化引起的压力变化值；b为惯容器的惯容值；ε为系统的阻尼系数。

设SMA弹簧位移变化为y，惯容器中的活塞杆向下运动时，深入油液的长度变化为x，所对应的油液体积变化为ΔV1=A1x，形状记忆合金弹簧压缩量变化对应的油液体积变化为ΔV2=A2y，总的体积变化为ΔV=A1x-A2y。

ΔP与ΔV的关系可由液压基础知识得[18]

(3)

ΔP=C(A1x-A2y)

(4)

记SMA弹簧的动态刚度为κ，弹簧力的变化与油液压力的变化平衡，也可以记为动态刚度和位移y的乘积

ΔF=A2ΔP=κy

(5)

将式(4)代入式(5)，可以得到x和y的关系，如下式所示

(6)

将式(6)代入式(5)，即可得到压力ΔP变化x的关系式，如式(7)所示

(7)

将式(7)代入式(2)，即可得到系统的动力学方程

(8)

将式(8)进行无量纲化处理后得

(9)

3 系统的固有频率分析

由振动理论可知，系统的固有频率与外界的输入无关，为了分析系统的固有频率，得到系统的间谐运动的微分方程

(10)

式中：ξ为系统的阻尼比；ωn为系统的固有频率，其值为

(11)

由线性振动理论可知，线性振动系统的固有频率为

(12)

对比两者不难发现，系统的等效质量和等效刚度不再是原有的m和k，而变成了m′和k′，分别为

m′ =m+b;

(13)

为了获得很低的系统固有频率，增加系统的等效质量和获得拟零刚度就成了两个最主要的方法。由式(13)看出，惯容器的存在增加了系统的等效质量。同时通过设计，使得等效刚度接近于零，这样就可以达到最终的低频隔振的效果。

式(13)中，κ为SMA弹簧的动态刚度，不同于普通的机械弹簧，由于SMA弹簧中超弹性的存在，弹簧的力-位移曲线不再是线性曲线，而是呈现非线性的滞回曲线，本文选用文献[19]中的SMA弹簧，力-位移曲线如图2所示。

图2 SMA弹簧的力-位移曲线Fig.2 Force-displacement curve of SMA spring

根据SMA弹簧的力-位移关系，为了让SMA弹簧工作在超弹性区域，可以通过调整螺钉调整SMA弹簧的压缩量使其工作在A点附近，此时SMA弹簧的动态刚度最小，κ=10 N/mm。

A1，A2的选取和初始条件有关。A1的选取与隔振目标的重量及初始压力有关，由式(1a)选定A1的面积。通过调节油压可以为不同振源质量的物体提供系统静态刚度。根据图2,将SMA弹簧的预压力设为50 N。根据式(1b)，同时可以确定薄膜的面积A2。

由于系统中提供静态刚度的不再是弹簧，因此对中弹簧的刚度系数可以设为小值。此处对中弹簧的作用是当系统处于振动平衡状态时，将活塞恢复至原位。只需克服活塞运动的静摩擦力即可。

本文中设定振源质量为50 kg,选定活塞杆的面积A1=50 mm2,初始油压调至1 MPa。当振源质量有改变时，可以通过调节油压来支撑不同的振源质量。SMA弹簧工作在超弹性区间,调整其输出力为50 N，选定薄膜面积A2=300 mm2。系统结构参数如表1所示。

表1 复合式隔振器的初始参数Tab.1 Initial parameter of hybrid isolator

选定系统的惯容值为100 kg。

将惯容器与拟零刚度结合在一起，从增加系统视在质量与降低系统等效刚度两个方面降低系统的固有频率。 隔振系统的性能，可以通过传递到基础的力和输入力之比与输入频率之间的关系，即求得系统的传递函数。传递到基础的力为

(14)

式中，F(s)和FT(s)分别为输入力和传递力的拉式变换，通过联立式(8)，式(14)，可以得到系统的传递函数

(15)

从幅频曲线可以看出，系统的谐振频率已经降到0.04 Hz，惯容器和拟零刚度原理的结合增加了系统的隔振频宽，可以实现真正的低频隔振，提高隔振性能，如图3所示。

图3 系统传递函数的幅频曲线Fig.3 Amplitude-frequency curve of system transfer function

4 系统结构参数对响应频率的影响

4.1k1，b值

从系统的动力学方程可以看出，对中弹簧的刚度k1与系统的等效动态刚度有关，k1越小，系统的等效刚度就越小，进而就会降低系统的固有频率。由于整个系统处于漂浮状态，对中弹簧的作用就是要让活塞回到平衡位置，因此在保证弹簧的恢复力大于活塞的摩擦力的情况下，k1值越小，系统的谐振频率就越低，隔振效果就越好。

同理，增加系统的惯容值可以增加系统的视在质量，从而降低系统的谐振频率增加系统的隔振频宽，达到良好的低频隔振效果。常见的惯容器的惯容值都可以达到自身质量的几十倍甚至数百倍，但无限制的提高惯容值必定会带来对惯容器外加负载的要求，因此选择适当的惯容器就已经可以达到超低频隔振的效果，无需单一的追求极大的惯容值。

4.2不同A1/A2值的影响

由式(13)的第二项可以看出设计参数中A1/A2的值对系统的等效刚度有着很大的影响，由于A1的选定与隔振物体重量和油压的压力范围有关系，下面选定不同的A2值，作出系统的伯德图，分析A1/A2的值对系统谐振频率的影响。

图4 不同A1/A2下系统的伯德图Fig.4 Bode diagrams of different ratios of A1/A2

由图4可以看出，增加活动薄膜的面积A2，即使得A1/A2的比值越小，系统的等效动态刚度就越小，从而可以获得更宽的隔振频宽，提高隔振性能。这一点很容易从物理上解释，因为这一比值越小，说明由于系统振动引起的液压缓冲装置中的体积变化和压力变化越小，从而使得等效的动态刚度越小。

5 结 论

本文提出了一种将惯容器与拟零刚度原理相结合起的复合式低频隔振器，可以隔离低频甚至超低频的振动。通过分析，得到了系统的动力学方程，分析了系统的固有频率的影响因素，结果表明惯容器和拟零刚度原理的结合可以有效降低系统的谐振频率，从而获得超低频的隔振性能。

[1] RIVIN E I, RIVIN E I. Passive vibration isolation[M]. New York: Asme Press, 2003.

[2] 张利国, 张嘉钟, 贾力萍, 等. 空气弹簧的现状及其发展[J]. 振动与冲击, 2007, 26(2): 146-151.

ZHANG Liguo, ZHANG Jiazhong, JIA Liping. Current state and development of air spring[J]. Journal of Vibration and Shock, 2007, 26(2): 146-151.

[3] 欧进萍. 结构振动控制: 主动, 半主动和智能控制[M]. 北京：科学出版社, 2003.

[4] 杜华军, 黄文虎, 邹振祝. 航天支架结构的被动振动控制[J]. 应用力学学报, 2002, 19(3): 10-13.

DU Huajun, HUANG Wenhu, ZOU Zhenzhu. Passive vibration control of aerospace supporter[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2002, 19(3): 10-13.

[5] CARRELLA A, BRENNAN M J, WATERS T P. Static analysis of a passive vibration isolator with quasi-zero-stiffness characteristic[J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 301(3): 678-689.

[6] LE T D, AHN K K. A vibration isolation system in low frequency excitation region using negative stiffness structure for vehicle seat[J]. Journal of Sound and Vibration, 2011, 330(26): 6311-6335.

[7] 刘兴天, 孙靖雅, 肖锋, 等. 准零刚度微振动隔振器的原理和性能研究[J]. 振动与冲击, 2013, 32(21): 69-73.

LIU Xingtian，SUN Jingya，XIAO Feng. Principle and performance of a quasi-zero stiffness isolator for micro-vibration isolation[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(21): 69-73.

[8] MIZUNO T, TAKASAKI M, KISHITA D, et al. Vibration isolation system combining zero-power magnetic suspension with springs[J]. Control Engineering Practice, 2007, 15(2): 187-196.

[9] CARRELLA A, BRENNAN M J, WATERS T P, et al. On the design of a high-static-low-dynamic stiffness isolator using linear mechanical springs and magnets[J]. Journal of Sound and Vibration, 2008, 315(3): 712-720.

[10] SMITH M C. Synthesis of mechanical networks: the inerter[J]. Automatic Control, IEEE Transactions on, 2002, 47(10): 1648-1662.

[11] 张孝良, 陈龙, 聂佳梅, 等. 2 级串联型 ISD 悬架频响特性分析与试验[J]. 江苏大学学报(自然科学版), 2012, 33(3): 255-258.

ZHANG Xiaoliang，CHEN Long，NIE Jiamei. Analysis and experiment of frequency response characteristics of two-stage series-connected ISD suspension[J]. Journal of Jiangsu University(Natural Science), 2012, 33(3): 255-258.

[12] 陈龙, 张孝良, 聂佳梅, 等. 基于半车模型的两级串联型 ISD 悬架性能分析[J]. 机械工程学报, 2012, 48(6): 102-108.

CHEN Long，ZHANG Xiaoliang，NIE Jiamei. Performance analysis of two-stage series-connected inerter-spring-damper suspension based on half-car model[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(6): 102-108.

[13] 陈龙, 任皓, 汪若尘, 等. 液力式惯容器力学性能仿真与试验研究[J]. 振动与冲击, 2014, 33(12): 87-92.

CHEN Long, REN Hao, WANG Ruochen. Simulations and tests for mechanical properties of a hydraulic inerter[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(12): 87-92.

[14] XU T. Design and analysis of a shock absorber with a variable moment of inertia flywheel for passive vehicle suspension[D]. Ottawa: University of Ottawa, 2013.

[15] HU Y, LI C, CHEN M Z Q. Optimal control for semi-active suspension with inerter[C]//Control Conference (CCC), 2012 31st Chinese. Hefei: IEEE, 2012: 2301-2306.

[16] ZHANG X J, AHMADIAN M, GUO K H. On the benefits of semi-active suspensions with inerters[J]. Shock and Vibration, 2012, 19(3): 257-272.

[17] SAADAT S, SALICHS J, NOORI M, et al. An overview of vibration and seismic applications of NiTi shape memory alloy[J]. Smart Materials and Structures, 2002, 11(2): 218.

[18] 王惠民. 流体力学基础[M]. 北京：清华大学出版社, 2005.

[19] LAGOUDAS D C, KHAN M M, MAYES J J, et al. Modelling of shape memory alloy springs for passive vibration isolation[C]//International Mechanical Engineering Congress and Exposition. New York: ASME, 2001.

Designandperformanceanalysisofacompositelow-frequencyvibrationisolator

WU Ting1, WANG Linxiang2

(1. The State Key Lab for Fluid Power Transmission and Control, Zhejiang University, Hangzhou 310027，China)

In current papers, a hybrid vibration isolator was proposed by combining the quasi-zero-stiffness isolator with an inerter. The inerter is employed to increase the effective mass of the isolator while the quasi-zero-stiffness part is to decrease the dynamic stiffness of the restoring elements. A superelastic shape memory alloy spring was integrated into the device. The low-frequency vibration isolation mechanism was specified. The force transmission ratio was analyzed and simulated. It is shown by simulation that the proposed vibration isolator could have a resonant frequency lower than 1 Hz. The influences of parameters on the system responses were discussed.

quasi-zero-stiffness; inerter; superelasticity; low-frequency vibration

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.19.035

国家自然科学基金资助项目(51575478;61571007)

2016-04-26 修改稿收到日期：2016-08-08

吴庭 男，硕士生，1992年10月生

王林翔 男，博士，教授，1971年1月生