关于模糊拟度量诱导的双拓扑空间的一些性质

杨 洋，吴健荣

（苏州科技大学 数理学院，江苏 苏州215009）

关于模糊拟度量诱导的双拓扑空间的一些性质

杨 洋，吴健荣*

（苏州科技大学 数理学院，江苏 苏州215009）

一个模糊拟度量可以自然地诱导出两个拓扑，从而确定一个双拓扑。该文研究了由模糊拟度量空间诱导出的双拓扑空间的一些基本性质：证明了该双拓扑空间是配T2和配全正则的；利用拟一致结构理论，证明了由模糊拟度量诱导的双拓扑空间是可拟度量化的。

模糊拟度量；双拓扑空间；分离性；可拟度量化

1975年Kramosil和Michalek[1]利用两点距离的不确定性，把连续t模和模糊集相结合，给出了模糊度量空间的概念，现被广泛地称为KM模糊度量空间。1994年，文献[2]通过改进文献[1]中定义的模糊度量空间，获得了具有Hausdorff拓扑的GV模糊度量空间。2009年，Gregori等[3]讨论了模糊度量P收敛和完备化之间的关系。2012年，Shen[4]基于GV模糊度量空间，给出了区间值模糊度量空间的概念。2014年，陆汉川等[5]通过对区间值模糊度量的进一步研究，将其与一致结构、不动点定理结合起来。近年来，由于在彩色图像滤波等方面的成功应用[6－10]，模糊度量理论得到了学界越来越重视。

2004年，Gregori等[11]提出了模糊拟度量的概念，Gregori等[12]在此基础上给出了可完备化的充分必要条件。2005年，Gregori等[13]则讨论了模糊拟度量的双完备化问题。同年，文献[14]在超空间上提出了Hausdorff模糊度量的概念。在此基础上，2010年，文献[15]提出了Hausdorff模糊拟度量空间。2011年，文献[16]用不同的方式刻划了模糊拟度量的双完备化。2016年，陆汉川等[17]得到了通过拟度量诱导的拓扑与标准的区间值模糊拟度量诱导的拓扑是相一致的，并讨论了双完备化的区间值模糊拟度量空间的一些性质。

如同一个模糊度量空间可以诱导出一个拓扑空间，一个模糊拟度量空间可以自然地诱导出一个双拓扑空间[18]。但至今，对模糊拟度量空间的研究基本上都是局限于模糊拟度量导出的单个拓扑，并没有在双拓扑的框架下进行研究。

笔者将在双拓扑空间框架下，研究模糊拟度量空间的拓扑性质，进一步展示模糊拟度量[11]空间丰富的拓扑特性。在证明了模糊拟度量所诱导的双拓扑空间的分离性的基础上，得到了模糊拟度量所诱导的双拓扑空间是可拟度量化的。

1 基本概念

设X是一个非空集合，P，Q是X上的两个拓扑，则序组（X，P，Q）称为双拓扑空间。引入记号：AP表示集合A在拓扑P下的闭包，Ac表示集合A的补集。下述定义主要来自于文献[18]。

定义 1 设（X，P，Q）为双拓扑空间。 称（X，P，Q）为：

（ⅰ）配 T0，若∀x，y∈X，x≠y，或存在 P 开集 U，使 x∈U，y∉U；或存在 Q 开集 V，使 y∈V，x∉V。

（ⅱ）配 T1，若∀x，y∈X，x≠y，存在 P 开集 U，使 x∈U，y∉U；且存在 Q 开集 V，使 y∈V，x∉V。

（ⅲ）配T2，若∀x，y∈X，x≠y，存在x的P开邻域U和y的 Q开邻域 V使得U∩V=Ø。

（ⅳ）（PQ）正则的，若对∀x∈X 和∀P闭集 G，x∉G，存在 P开集 U 和 Q 开集 V，使得 x∈U，G⊆V，U∩V=Ø；等价地，对∀x∈X和∀P开集W，x∈W，存在P开集U，使得x∈U⊆UQ⊆W。

若（X，P，Q）既是（PQ）正则又是（QP）正则的，则称它为配正则的。

（ⅴ）配全正则[19]，若对∀x∈X及x任意P开邻域V，存在P上半连续函数和Q下半连续函数f：X→[0，1]使得 f（x）=0，f（Vc）=1，并且交换上述 P 和 Q 时也成立。

显然若双拓扑空间是配T1，则它一定是配T0的；若它是配T2的，则它一定是配T1。一般地，若T是某拓扑性质，双拓扑空间（X，P，Q）是配 T 的，指（X，P，Q）既满足（PQ）T 性，又满足（QP）T 性。

定义 2[2]称二元算子*：[0，1]×[0，1]→[0，1]是连续 t模，如果它满足：

（ⅰ）a*b=b*a 和 a*（b*c）=（a*b）*c，∀a，b，c∈[0，1]；

（ⅱ）*是连续的；

（ⅲ）a*1＝a，∀a∈[0，1]；

（ⅳ）当 a≤c 和 b≤d（a，b，c，d∈[0，1]）时，a*b≤c*d。

根据定义，容易验证连续t模*满足以下性质：

性质 1[2]设算子*：[0，1]×[0，1]→[0，1]是连续 t模，

（1）若 r1＞r2，则∃r3∈（0，1），使得 r1*r3≥r2，其中 r1，r2∈（0，1）；

（2）∀r4∈（0，1），则∃r5∈（0，1），使得 r5*r5≥r4。

上述性质可进一步加强为如下形式：

性质 2 设算子*：[0，1]×[0，1]→[0，1]是连续 t模，则：

（ⅰ）若 r1＞r2，则∃r3∈（0，1），使得 r1*r3＞r2，其中 r1，r2∈（0，1）；

（ⅱ）∀r4∈（0，1），则∃r5∈（r4，1），使得 r5*r5＞r4。

证明 （ⅰ）若 r1＞r2，取 r∈（r2，r1），由性质 1（1）可知存在 r3∈（0，1），使得 r1*r3≥r，从而 r1*r3＞r2。

（ⅱ）对∀r4∈（0，1），取 r∈（r4，1），由性质 1（2）可知存在 r5∈（0，1），使得 r5*r5≥r，从而 r5*r5＞r4。 由于r5=r5*1≥r5*r5，可见 r5＞r4。

定义3 设X是一非空集合，*是连续的t模，X上的模糊拟度量M是指映射M：X2×（0，∞）→（0，1]，对∀x，y，z∈X，t，s∈（0，∞）满足如下条件：

（1）M（x，y，t）＞0；（2）M（x，y，t）=1⇔x=y；（3）M（x，y，t）*M（y，z，s）≤M（x，z，t+s）；（4）M（x，y，·）：（0，∞）→（0，1]是连续的。

若模糊拟度量 M 满足对称性，即 M（x，y，t）=M（y，x，t），∀x，y∈X 及 t∈（0，∞），则称 M 为 X 上的模糊度量。若M为X上的模糊（拟）度量，则（X，M，*）称为模糊（拟）度量空间。

例1 设（X，d）是一个（拟）度量空间，定义a*b=ab，并且

则（X，M，*）是模糊（拟）度量空间。 特别地，取 k＝m＝n＝1，于是得到

称其为由（拟）度量d诱导的标准的模糊（拟）度量。

性质 3[11]若（X，M，*）是模糊拟度量空间，∀x，y∈X，∀r∈（0，1）。 则：

（1）M（x，y，·）是单调不减的；

（2）∀t＞0，若 M（x，y，t）＞1-r，则存在 t0∈（0，t）使得 M（x，y，t0）＞1-r。

若（X，M，*）是一个模糊拟度量空间。 设 x∈X，r∈（0，1），t＞0，称 X 的子集 BM（x，r，t）={y∈X|M（x，y，t）＞1-r}为以x为心，r为半径的开球。下列定理的证明可见文献[11]。

定理1 设（X，M，*）是一个模糊拟度量空间。如果

则 PM是 X 上的第一可数的拓扑，{BM（x，1/n，1/n）|n∈N}是点 x的可数邻域基。

设（X，M，*）是一个模糊拟度量空间，定义 M-1：X2×（0，∞）→（0，1]为

则M-1称M是的逆。显然M-1也X是上的一个模糊拟度量，因此，也可以导出X上的一个拓扑。下面给出由模糊拟度量M诱导双拓扑空间的概念。

定义 4 设（X，M，*）是一个模糊拟度量空间，M-1是 M 的逆。 若 M，M-1分别导出拓扑 PM，QM，则称（X，PM，QM）是由模糊拟度量M诱导的双拓扑空间。

文中，（X，PM，QM）总表示由模糊拟度量M诱导的双拓扑空间。

定义5 设（X，P，Q）为双拓扑空间，M为X上模糊拟度量。如果M，M-1分别诱导出拓扑P，Q，则称双拓扑空间（X，P，Q）可以由一个模糊拟度量M导出，也称（X，P，Q）可模糊拟度量化的。

由于 yn∈BM[x，r，t]，即 M（x，yn，t）≥1-r，且*是连续的，因此

因为 M（x，y，·）连续，故由 ε 的任意性可知 M（x，y，t）≥1-r。 故 y∈BM[x，r，t]，因此，BM[x，r，t]是一个 QM闭集。

2 模糊拟度量诱导的双拓扑空间的分离性

该节主要讨论模糊拟度量诱导的双拓扑空间的分离性。

定理4 由模糊拟度量M诱导的双拓扑空间（X，PM，QM）是配T2的。

证明 对∀x，y∈X，且 x≠y，t＞0，令 M（x，y，t）=r。 由性质 2，存在 r1＞r使得 r1*r1＞r，取 U=BM（x，1-r1，t/2），V=BM-1（y，1-r1，t/2）。 显然 U，V 分别为 PM和 QM开邻域，并且 x∈U，y∈V。 现证 U∩V=Ø。 反设存在 z∈U∩V，则 M（x，z，t/2）＞r1且 M-1（y，z，t/2）＞r1。 于是

矛盾，故 U∩V=Ø。 综上所述，（X，PM，QM）是配 T2的。

推论1 模糊拟度量M诱导的双拓扑空间（X，PM，QM）是配T0和配T1的。

定理5 由模糊拟度量M诱导的双拓扑空间（X，PM，QM）是配正则的。

证明 只证（X，PM，QM）是（PMQM）正则的，类似可证它是（QMPM）正则的。 对∀x0∈X，设 G 是 PM闭集且x0∉G，于是存在 t0＞0，r0∈（0，1）使得 BM（x0，r0，t0）∩G=Ø。 根据 BM-1

的定义，有

选取 s0＜r0，使得（1-s0）*（1-s0）＞1-r0，取

则 U为 PM开集，V为 QM开集，且 x0∈U，G⊂V。 现证 U∩V=Ø。 反设有 z∈U∩V，则有 y0∈G使得 z∈BM（x0，s0，t0/2）且 z∈BM-1（y0，s0，t0/2），从而

于是 y0∈BM（x0，r0，t0），这与 BM（x0，r0，t0）∩G=Ø 矛盾。 所以（X，PM，QM）是（PMQM）正则的。

定理6 由模糊拟度量M诱导的双拓扑空间（X，PM，QM）是配全正则的。

证明 第一步：对∀x0∈X 及其任意 PM开邻域 V1，取 G1/2=BM[x0，r1/2，t0]，使得 G1/2⊆V1。 取 V1/2=BM（x0，r1/2，t0），则 V1/2⊆G1/2⊆V1。取 r0＜r1/2，G0=BM[x0，r0，t0]。由定理 3 知 G0⊆V1/2⊆G1/2⊆V1。取 r0＜r1/4＜r1/2＜r3/4＜r1，令 V1/4=BM（x0，r1/4，t0），G1/4=BM[x0，r1/4，t0]，V3/4=BM（x0，r3/4，t0），G1/2=BM[x0，r1/2，t0]。 于是得到

继续上述过程，得{Gs}和{Vs}，其中 s=n/2k（n=1，2，…，2k-1；k=1，2，…）。

第二步：将s扩充为全体有理数Q，具体做法是令

容易验证集族{Vs：s∈Q}和集族{Gs：s∈Q}满足当 p＜q 时，Vp⊆Gp⊆Vq；对任意的 p≤s≤q，有 Vp⊆Vs⊆Gs⊆Gq。

第三步：对任意 x∈X，定义 H1（x）={s：x∈Vs}，H2（x）={s：x∈Gs}。 因为 Vs⊆Gs，所以 H1（x）⊆H2（x），从而infH1（x）≥infH2（x）。 下证 infH1（x）≤infH2（x）。 令 infH2（x）=a，则∀ε＞0，∃s0∈H2（x），使得 s0＜a+ε。 取 t0∈Q，使得 s0＜t0＜a+ε，则 Gs0⊆Vt0。 于是 x∈Vt0，即 t0∈H1（x），所以 infH1（x）≤t0＜a+ε。 由 ε 的任意性知 infH1（x）≤a，即infH1（x）≤infH2（x）。 于是得到：infH1（x）=infH2（x），∀x∈X。

第四步：定义 f：X→（0，1]为 f（x）=infH1（x）=infH2（x），∀x∈X。

（1）首先证明 f（x0）=0，f（x）=1（∀x∈V1c）。 由 x0∈G0，可知 f（x0）=0。 若 x∈V1c，由于 s＜1 时，Vs⊆V1。 因此，对于任意 s∈Q，若 x∈Vs，必有 s≥1。 因此，f（x）=inf{s：x∈Vs}=1。

（2）其次证明f是PM上半连续函数和QM下半连续函数。

由（1）、（2）及配全正则的定义可知，（X，PM，QM）是配全正则的。

3 模糊拟度量诱导的双拓扑空间的拟度量化

该节将证明模糊拟度量诱导的双拓扑是可拟度量化的。首先利用拟一致结构[20]给出双拓扑空间可拟度量化的充分条件。

定理7[21]如果双拓扑空间（X，P，Q）是配T0的且它可以由具有可数基的拟一致结构u导出，则（X，P，Q）是可拟度量化的。

定理8 设（X，M，*）是一个模糊拟度量空间，则（X，PM，QM）是可拟度量化的双拓扑空间。

证明 对任意的 n∈N，定义 Un={（x，y）∈X×X：M（x，y，1/n）＞1-1/n}。 将证明{Un：n∈N}是拟一致结构的一个基。

（1）对任意的 n∈N，由于 M（x，x，1/n）=1＞1-1/n，所以{（x，x）：x∈X}⊆Un。 又由

所以 Un+1⊆Un。

（2）对任意的 n∈N，由连续 t模 * 的性质可知：存在 m∈N，使得 m＞2n 且（1-1/m）*（1-1/m）＞（1-1/n）。 设（x，y）∈Um和（y，z）∈Um，由于 M（x，y，·）是单调不减的，于是有 M（x，z，1/n）≥M（x，z，2/m）。 所以

从而（x，z）∈Un，因此，。

（3）对任意的 Un1∩Un2≠Ø，取 n3=max{n1，n2}，则有

成立。因此，{Un：n∈N}是某个拟一致结构u的基。

下面证明 PM，QM可由{Un：n∈N}导出。因为对∀x∈X，n∈N，有

又由 BM（x，1/n，1/n）是拓扑 PM的邻域基，所以 PM可由{Un：n∈N}导出。 同理可知 QM可由导出，所以 PM，QM可由{Un：n∈N}导出。

又因（X，PM，QM）是配 T0，由定理 7 知（X，PM，QM）是可拟度量化的。

推论2 双拓扑空间（X，P，Q）可拟度量化的充要条件为可模糊拟度量化。

证明 充分性由定理8可得，只证必要性。设存在拟度量d，使得d诱导出双拓扑（P，Q）。由例题1知d可以诱导出标准的模糊拟度量Md。下面只要证明对上述d，有PMd=P，QMd=Q。

易见：∀x，y∈X，∀ε＞0，d（x，y）＜ε 当且仅当 Md（x，y，t）＞1-ε/（ε+t）。因此，Bd（x，ε）=BM（x，ε/（ε+t），t），从而P⊆PMd。 又注意到：∀x，y∈X，0＜r＜1，t＞0，Md（x，y，t）＞1-r 当且仅当 d（x，y）＜rt/（1-r），因此，BMd（x，r，t）=Bd（x，rt/（1-r）），可见 PMd⊆P。 因此，PMd=P。 同理可证 QMd=Q。 故证得（X，P，Q）可以由一个模糊拟度量 Md导出。

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责任编辑：谢金春

Some properties of bitopological spaces generated by fuzzy quasi-metric spaces

YANG Yang，WU Jianrong*
（School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China）

A fuzzy quasi-metric space can generate two topologies and hence one bitopology can be determined.In this paper,we investigated some fundamental properties of the bitopological space induced by a fuzzy quasimetric space.The separation properties such as pair-wise T2and pair-wise complete regularity are proved.By means of quasi-uniformity,it is shown that a bitopological space induced by a fuzzy quasi metric space is quasimetrizable.

fuzzy quasi-metric space；bitopological spaces；separation properties；quasi-metrizability

O189.13MR（2010）Subject Classification54E35；54E55

A

2096－3289（2017）04－0014－06

2016－11－30

国家自然科学基金资助项目（11371013）

杨 洋（1992-），男，吉林吉林人，硕士研究生，研究方向：模糊分析学。

*通信作者：吴健荣（1963-），男，博士，教授，硕士生导师，E－mail：jrwu@mail.usts.edu.cn。