经济类数学模型的应用与研究

韩旭++韦俊++唐彩娟++刘龙跃

摘 要：实际生活中复杂多变的经济现象向数学提出了新的问题和挑战，也敦促着我们更深入地研究数学方法在经济学的应用。本课题主要针对经济学中的常见问题并为之建立合适的数学模型，将二者有机结合。

关键词：经济 数学模型 设计

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）10（a）-0255-02

随着现代科技和经济社会的不断发展，经济和数学的融合随之不断加强，二者相辅相成，密切相连。为了描述现实的问题，我们通过学习与研究，建立有关投入产出表的经济类模型。

1 投入产出表的结构

投入产出表或投入产出模型是投入产出理论的表现形式与具体运用的基础。投入产出表或投入产出模型种类很多，但是，静态全国产品投入产出表或投入产出模型是一种基本的模式，通过它可以了解投入产出法的基本原理及应用。

价值型投入产出表是以国民经济中的“纯”部门，即以同类产品的综合体为部门来进行编制的，它将各部门的投入与生产成果用价值形式表现出来。

在价值型投入产出表中，中间投入与增加值之间的横线和中间使用与最终使用之间的竖线将表分成了四个象限，基本表式见表1。

第Ⅰ象限是中间流量象限，反映国民经济各部门间的生产技术联系。主栏和宾栏都是产品部门，横行和纵列的部门名称、部门个数以及部门的排列顺序都完全相同。第Ⅰ象限中的元素Xij从横行看，表示i产品分配给j部门作生产使用的数量；从纵列看，表示j部门生产中消耗的i产品数量。

第Ⅳ象限是最终使用象限。它是第Ⅰ象限在水平方向的延伸，主栏与第Ⅰ象限相同，是产品部门，宾栏是最终使用X，包括最终消费、资本形成总额和净出口三项。这象限是把支出法国内生产总值的各个项目，按产品部门进行了分解，反映社会最终使用产品的部门构成和项目构成。

第Ⅲ象限是增加值象限。它是第Ⅰ象限在垂直方向的延伸，宾栏与第Ⅰ象限相同，是产品部门，主栏是增加值N的各个项目。这一象限是把收入法或分配法增加值的各个项目，按产品部门进行了分解，反映增加值的项目构成和部门构成。各个部门的增加值之和是国内生产总值，从生产的角度，增加值等于总产出减中间收入；从收入或分配的角度，增加值等于固定资产折旧、劳动者报酬、生产税净额、营业盈余之和。

第Ⅳ象限是由第Ⅱ和第Ⅲ象限共同延伸组成的，为理论象限。这一象限理论上反映增加值经过分配和再分配，形成各个部门的最终收入，这些最终收入用于多种最终使用。

2 价值型投入产出表的平衡关系

价值型投入产出表中的平衡关系只要包括行平衡关系、列平衡关系。在行或列平衡关系中又分同一个部门的平衡关系和全社会的平衡关系两种表述。

行平衡关系，是把第Ⅰ和第Ⅱ象限联系起来，反映产品的分配使用去向而表现出的恒等关系：中间使用+最终使用=总产出。

对同一个部门，用式子表示是：

（i=1，2，…，n） （1）

对全社会平衡有：

（2）

其中，i表示横行部门，j表示纵列部门；Yi表示i部门的最终使用合计，Xi表示i部门的总产出。

行平衡等式也称为分配方程组。

列平衡关系，是把第Ⅰ和第Ⅱ象限联系起来，反映产品部门各种投入而表现出的恒等关系：中间使用+最初投入（增加值）=总投入。

同一个部门的平衡关系用式子表示为：

（j=1，2，…，n） （3）

其中，表示j部门消耗的各种产品的转移价值，Dj+Vj+Tj+Mj=Nj是j部门创造的增加值部分。

全社会平衡用式子表示为：

（4）

其中，表示全社会总产品的转移价值，表示全社会的增加值之和即国内生产总值。

列平衡等式也称为生产方程组。

除了上述分配方程组和生产方程组外，价值型投入产出表还反映了其他一些平衡关系。

同一部分的总产出与总投入相等，也就是同一部门的生产方程与分配方程相等：

（i=j=k；k=1，2，…，n） （5）

全社会的总产出与总投入相等：

（6）

其中，为Ⅰ、Ⅱ象限之和，为Ⅰ、Ⅲ象限之和；和都是对第Ⅰ象限求和，当然是相等的，把它们消去后有第Ⅱ象限合计等于第Ⅲ象限合计：

（7）

（7）式表示全社会最终使用的价值与全社会各个部门增加值之和即国内生产总值相等，这与国内生产总值的概念是一致的。

3 基本的投入产出模型

投入產出模型是建立在一些相对稳定的系数基础上的。最基本的投入产出系数是直接消耗系数。所谓直接消耗系数是生产单位j总产出要直接小号的i产品数量，即（i，j=1，2，…，n）。

把直接消耗系数（i，j=1，2，…，n）引入（1）式，就得到投入产出行模型。

另A表示直接消耗系数矩阵，I表示n阶单位矩阵，X和Y表示各部门总产出列向量和最终使用列向量，即：

则（1）式可以写成：

AX+Y=X （8）

整理有：

（9）

（10）

（9）式和（10）式是最基础的模型，它们建立了总产出与最终使用之间的联系，在已知总产出列向量X或最终使用列向量Y的条件下，利用投入产出表计算出直接消耗系数矩阵，就可以求得最终产出列向量Y或总产品列向量X。

引入（3）式得到如下的投入产出列模型。

以表示如下的对角矩阵：

再分别以N表达增加值列向量，即：

则（3）式可以写成：

（11）

整理有：

（12）

（13）

（12）和（13）反映了总投入与增加值之间的联系。

4 结语

数学这门基础学科不仅在工程技术等传统应用领域发挥越来越重要的作用，而且迅速的向一些新的领域渗透，本文我们对投入产出表的结构与模型、首次购买的新产品扩散模型：Bass模型进行了探索和研究，得出了一些结论。

参考文献

[1] 李季，张丽君.快速消费品新产品扩散模型[M].北京：化学工业出版社，2010.

[2] 向蓉美，孟彦菊.地区投入产出模型扩展研究[M].成都：西南财经大学出版社，2011.endprint