等比数列实际应用赏析

■江苏省太仓市明德高级中学 王佩其

等比数列实际应用赏析

■江苏省太仓市明德高级中学 王佩其

等差数列无处不在,等比数列也是如此,下面给同学们举上几例。

一、节能减排问题

我国积极应对气候变化,提出到2020年碳排放强度要达到比2005年下降40%的减排目标。已知2005年我国碳排放强度约为3吨/万元,以后每年的碳排放强度均比上一年减少0.08吨/万元。

(1)问能否在2020年实现减排目标,并说明理由。

(2)若2005年我国国内生产总值为a万元,且以后每年均以8%的速度递增,问从哪年起二氧化碳排放量开始减少。注释:“碳排放强度”是指每万元国内生产总值的二氧化碳排放量。

解析:(1)依题意知,自2005年起每年的碳排放强度构成等差数列{an},且a1=3,公差d=-0.08,所以an=3+(n-1)·(-0.08)=3.08-0.08n。因此,2020年碳排放强度为a16=1.8。又3.0×(1-40%)=1.8,所以2020年能实现减排目标。

(2)从2005年起,逐年国内生产总值构成首项为a,公比为1.08的等比数列,所以第n年国内生产总值为a·1.08n-1万元。由(1)知第n年碳排放强度为an=3.08-0.08n,故第n年全国二氧化碳排放总量为bn=a·1.08n-1·(3.08-0.08n)。

所以bn+1=a·1.08n·(3.08-0.08n-0.08)=a·1.08n·(3-0.08n)。

因此,bn+1-bn=a·1.08n·(3-0.08n)-a·1.08n-1·(3.08-0.08n)

=a·1.08n-1·(0.16-0.0064n)。

由bn+1＜bn,解得n≥25。

故从第26年也就是2030年开始,全国二氧化碳排放的总量开始减少。

点评:在实际问题中,常常遇到有关平均增长率(如复利、人口增长率、产值增长率等)的问题,求解时常用到公式y=N(1+p)x,其中N表示原来产值的基础数,p为平均增长率,y表示对应于时间x的产值。

二、中国人口问题

中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征,测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一,再不实施“放开二胎”新政,整个社会将会出现一系列的问题。……