例析超越方程参数范围的普适解法

吕 涤 张毅凡

(浙江省绍兴市嵊州中学，浙江 绍兴 312400)

例析超越方程参数范围的普适解法

吕 涤 张毅凡

(浙江省绍兴市嵊州中学，浙江 绍兴 312400)

通过分析“虚设零点”法在求超越方程参数范围中的应用与效果，并与传统方法进行比较，给出了解决导数零点难求问题的新思路，为求超越方程参数范围提供了新方法.

函数；导数；超越方程；参数；虚设零点

作为初等数学与高等数学的纽带，函数与导数始终是高考的热点，近年来多次作为压轴题出现，且往往含有参数，并需要求解其范围.但对于许多函数，求导后导函数形式往往呈现超越式，导致导数零点求不出、判不定，从而使解题过程陷入困境.笔者试图结合例题分析来探讨解决这类问题的方法.

一、例题分析

例1 已知g(x)=x2+mx，h(x)=ex-1 ，若在(0,+∞)上至少存在一点x0，使得g(x0)gt;f(x0)成立，求m的取值范围.

解析方法一：问题等价于[g(x)-h(x)]maxgt;0，令f(x)=g(x)-h(x)=x2+mx-ex+1，

点评这种做法有效规避了参数讨论，大大简化了解题过程，设零点而不求，以零点为媒介将参数与另一个函数联系起来，通过限定零点范围从而快速求出参数范围.

例2 已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx，g(x)=ex-x-1，若对∀x1∈(0,+∞),x2∈R，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，求实数a的取值范围.

点评这是一个导函数有两个零点的超越方程，其中一个为常数，另一个与参数有关，此时就需要考虑两个零点是否在定义域内.而事实上，对于本题的函数，其定义域是“开放型”的，即x∈(0,+∞)，因此必定只有一个零点在定义域内，否则有x→+∞时f(x)→+∞，与f(x)≤0矛盾.

例3 (2015全国数学高考文科第21题)设函数f(x)=e2x-alnx.

(1)讨论f(x)的导函数f′(x)的零点个数；

点评这是另一种形式的整体代换，根据题目中不等号右边式子的特点，将x0用a代换，极大地简化了解题过程.

二、总结

一般地，对于求含参数的超越方程参数范围的题目，可以用以下方法处理：

1.转化问题，将题目改写为f(x)≤p或f(x)≥q的形式；

2.求导，并令f′(x0)=0，得到“零点多项式”.

1)若只有一个零点，则这个零点必定与参数有关.

①用零点多项式表示参数；

②将f(x0)中的参数用零点多项式代换，解得满足题设要求的x0范围；

③用求得的x0范围解得零点多项式的范围，即为参数的范围.

2)若有两个零点，一个与参数有关，一个为常数.

①如果该函数的定义域是“开放型”的，如(m,+∞)、(-∞,n)、R，则必定只有一个零点在定义域内，否则有x→∞时，f(x)→∞，与题设条件(f(x)≤p或f(x)≥q)矛盾.

导数是研究函数的重要工具，得到导数零点是对函数性质研究的重要前提.而在导数零点无法直接得到或不能求得精确值时，运用本文所涉及的思想及方法，可以更好地发挥导数的功能，充分利用导数的价值，更巧妙地解决问题.

[1]闫伟. 高中数学“导数及其应用”教学研究[D].长春：东北师范大学,2015.

[2]冷孝勇. 对高中数学等价变形中化繁为简方法的探讨[J]. 西藏教育,2012(11):25-26.

[3]石向阳. 破解导数零点不可求的“组合拳”[J]. 中学数学研究, 2016，34(高中版11):9.

[责任编辑：杨惠民]

G632

A

1008-0333(2017)25-0054-02

2017-07-01

吕涤(1999.2-)， 女， 南京农业大学植物保护学院植物保护专业 ，在校生.

张毅凡(1998.8-)， 男， 浙江省嵊州中学，在校生.