一种石英挠性摆式加速度计随机振动误差建模方法

焦晨阳+王新龙+王盾+李群生+潘哲

摘要： 提出一种将经验模态分解法、 时间序列分析法与Kalman滤波相结合， 对随机振动引起的石英挠性摆式加速度计误差进行建模的方法。 针对随机振动引起的加速度计非平稳序列误差， 通过经验模态分解法有效分离出误差序列中的非平稳成分， 进一步采用时间序列分析法建立平稳序列的误差模型， 并引入Kalman滤波算法对模型的预测误差进行最优估计。 实现了对加速度计随机振动误差的精确建模， 提高了随机振动环境下石英挠性摆式加速度计的测量精度。

关键词： 石英挠性摆式加速度计； 随机振动； 经验模态分解； 时间序列分析法； Kalman滤波

中图分类号： TJ765.1； V241.4+5文献标识码： A文章编号： 1673-5048（2017）05-0048-060引言

石英挠性摆式加速度计以高精度、 高灵敏度、 稳定性好等优点在航空、 航天、 測绘等领域得到广泛应用。 然而在实际工作中， 加速度计易受环境振动、 温度等因素的影响， 导致其参数不断发生变化， 严重影响导航精度。 因此， 研究随机振动对加速度计输出的影响有着重要的现实意义[1]。

目前， 对于加速度计误差的研究多数为环境温度变化下的系统参数辨识与补偿算法， 而对随机振动误差建模的研究很少。 时间序列分析法[2]是一种较为成熟的传感器建模方法， 利用时间序列分析法建模能够实现数据的平滑、 滤波和预测， 并能够对系统特性进行识别， 有利于对系统进行控制； 其对动态数据具有外延特性， 从而可以避免在求取其统计特性时直接加“窗”造成的影响。 文献[3]就是利用时间序列分析法对加速度计的随机振动平稳误差序列进行建模， 然而并未考虑振动误差中的趋势项等非平稳成分的影响， 因此， 所建的加速度计振动误差模型并非完整模型。

基于此， 本文通过对石英挠性摆式加速度计进行多方向随机振动测试试验， 提出一种完整的石英挠性摆式加速度计随机振动误差建模方法。

1随机振动试验分析

1.1随机振动试验特点分析

捷联惯导系统在实际工作中， 由于环境影响引起的系统振动往往具有随机性。 这种随机振动具有两个显著的特点， 即非周期性和瞬时值不能预测， 但其统计特性却是有规律的[4]。 依据振动的统计特性， 设计随机振动试验， 采用时间序列分析法建立随机振动引起的加速度计误差模型， 并利

收稿日期： 2016-11-28

基金项目： 国家自然科学基金项目（61673040； 61233005）； 航空科学基金项目（2015ZC51038； 20160812004）； 天地一体化信息技术国家重点实验室开放基金项目（2015-SGIIT-KFJJ-DH-01）； 2015年度北京航空航天大学教改资助项目

作者简介： 焦晨阳（1992-）， 男， 河南洛阳人， 硕士研究生， 研究方向为惯性导航、 组合导航。

引用格式： 焦晨阳， 王新龙， 王盾， 等. 一种石英挠性摆式加速度计随机振动误差建模方法[ J]. 航空兵器， 2017（ 5）： 48-53.

Jiao Chenyang， Wang Xinlong， Wang Dun， et al. A Modeling Method for Quartz Flexible Pendulum Accelerometer Random Vibration Error[ J]. Aero Weaponry， 2017（ 5）： 48-53. （ in Chinese）用Kalman滤波对模型的预测误差进行最优估计， 以达到误差补偿的目的。 通常， 随机振动条件使用功率谱密度函数来描述， 一旦功率谱密度值确定下来， 振动谱形也随之确定。

随机振动试验采用基于两点响应平均控制的方法获取捷联惯组加速度计的实测输出， 控制点位于惯组减振前， 频率范围为20～2 000 Hz， 时间为960 s， 其谱形如图1所示。

图1随机振动试验控制点谱形

Fig.1The control point spectrum of random vibration test

加速度计随机振动试验分为预振动段、 振动段和结束段三个阶段， 输出采样时间设定为0.5 ms， 试验总时间为2 000 s。 试验过程中， 依次在X， Y， Z三个轴向施加随机振动， 使加速度计产生相对应的9组输出。

1.2随机振动试验结果分析

由随机振动试验分别获得X， Y， Z三个方向上加速度测量输出通道的视加速度增量脉冲数（数字量）， 根据加速度计输出通道的测量模型和极性规定， 将增量脉冲输出数据转换为实际加速度值。 以X轴方向振动时， X， Y， Z三个方向上敏感到的加速度值为例， 其加速度曲线如图2所示。

为了建立加速度计随机振动时序模型， 选取X方向上加速度计的振动段（1 320～1 495 s）输出作为研究对象， 其数据曲线如图3所示。

图3为在振动台上实测的加速度计输出数据， 可以看出， 随机振动引起的加速度计输出误差具有显著的波动性和随机性， 变化范围始终保持在固定的区间内， 但其趋势项并不明显， 因此， 单纯采用时间序列分析法很难对加速度计随机振动误差进行精确建模， 需要选择更为有效的方法建立加速度计随机振动误差模型。

航空兵器2017年第5期焦晨阳， 等： 一种石英挠性摆式加速度计随机振动误差建模方法2建模方案设计

在随机振动试验中， 振动输入相对于加速度计是一种有色噪声， 因此会引起系统参数的不断改变， 造成输出序列的非平稳性。

针对非平稳随机振动误差序列的建模， 将经验模态分解法和Kalman滤波算法引入时间序列分析法中， 设计了一种高精度的随机误差建模方案， 如图4所示。endprint

建模方案主要分为经验模态分解、 时间序列建模和数据优化拟合三个部分：

（1） 经验模态分解。 针对随机振动误差序列的非平稳性， 采用自适应较好的经验模态分解法对数据进行平稳化处理， 提取出非平稳项， 并将振动误差序列分为多个固有模态函数（IMF）， 且每个IMF均为平稳时间序列。

（2） 时间序列建模。 对同时满足平稳性和非白噪声性的IMF分量进行时间序列建模， 建模过程包括模型识别、 模型定阶、 参数估计和适用性检验四个部分。

（3） 数据优化拟合。 采用Kalman滤波算法对时间序列模型的预测误差进行最优估计， 将各阶IMF分量时序模型的滤波输出与经验模态分解提取出的非平稳项序列相叠加， 实现模型的高精度拟合。

3随机振动数据处理方法

3.1经验模态分解

经验模态分解（EMD）法是一种能够自适应处理非平稳信号的有效筛分方法[5]， 其将信号中包含的所有成分按照频率由高至低逐级划分并提取， 获得多个具有实际物理意义的IMF和非平稳成分。 这种方法具有适应能力强、 直观性好、 运算量小等优点。

对于非平稳时间序列x（t）， 利用EMD法对其进行平稳化处理， 可以表示为如下形式：

x（t）=∑ni=1Ii（t）+r（t）（1）

式中： Ii（t）为第i阶IMF分量； r（t）为非平稳残差序列。

3.2时间序列分析法建模

3.2.1模型识别

模型识别是从各种模型族中选择一个与实际过程相吻合的模型。 模型识别的方法很多， 其中根据时间序列的自相关系数（ACF）和偏自相关系数（PACF）的截尾性、 拖尾性特征进行模型识别的方法应用较为广泛[6]。

AR（n）模型、 MA（m）模型以及ARMA（n， m）模型所对应的ACF和PACF特点如表1所示。

models模型类型ACF特点PACF特点AR（n）拖尾截尾MA（m）截尾拖尾ARMA（n，m）拖尾拖尾

3.2.2模型定阶

模型定阶是利用适当的定阶准则对所选择模型的阶次进行确定。 其中AIC准则与BIC准则是目前常用的两种定阶方法。

这两种定阶准则均能够实现模型阶数的确定， 但在算法上各有特点。 当样本的个数较少时， 选择AIC准则计算较为简单； 当样本的个数N→∞时， 用BIC准则确定的最佳模型阶数更加准确。 因此， 实际使用时需要根据序列的实际长度选择合适的定阶方法。

3.2.3参数估计

模型的参数估计是利用估计算法对模型中的未知参数进行估计， 获得模型的显式表达式。 ARMA模型的参数估计算法可以分为时序理论估计法、 优化理论估计法和控制理论估计法三类， 其特点如表2所示。

algorithms估计算法特点时序理论估计法“准”最优估计算法、 概念简单、 易于实现优化理论估计法

控制理论估计法最优估计算法、 算法复杂、 反复迭代、 運算量大

由表2可以看出， 时序理论估计法在保证参数估计精度的前提下， 计算速度更快， 有利于实现工程应用中对模型参数的实时估计与修正。

3.2.4适用性检验

模型的适用性检验实质上就是残差序列a（t）的独立性检验。 通过残差序列a（t）的自相关系数ρa， k和a（t）与x（t）的互相关系数ρax， k对模型的适用性进行检验。 若ρa， k→0， ρax， k→0， 则所得时序模型为适用模型[7]。

3.3Kalman滤波在时序建模中的应用

由于时序模型中不仅包含了线性回归部分， 也包含了随机误差序列a（t）， 该项会对加速度计的随机振动误差补偿造成不利影响。 因此， 引入Kalman滤波算法对模型进行最优估计， 以消除随机误差项的影响[8]。

以AR（n）模型为例， 其离散化后的系统状态空间模型为

X（k）=Φ（k， k-1）X（k-1）+W（k）

Z（k）=H（k）X（k）+V（k） （2）

式中： 状态转移阵Φ（k， k-1）=ψ

B， 其中ψ=[φ1φ2…φn]， B=[I（n-1）×（n-1）0（n-1）×1]； X（k）为系统k时刻的状态； W（k）和V（k）分别为系统的状态噪声和观测噪声， W， V=randn（n， 1）， 且W（k）的方差阵Q和V（k）的方差阵R可由残差序列确定； Z（k）为系统在k时刻的测量值； 量测矩阵H（k）=[101×（n-1）]。 依据Kalman滤波递推算式实现对模型预测误差的最优估计。

4模型方案验证及分析

4.1经验模态分解

采用EMD法将经过预处理后的x（t）序列分为18个IMF及非平稳项序列， 分解后的部分结果如图5所示。

时间序列分析法建模的条件是平衡非白噪声序列， 因此对EMD后产生的各阶IMF分量进行平稳性和白噪声性检验[9]：

（1） 平稳性检验。 采用逆序检验法进行平稳性检验， 结果表明， IMF1～IMF17均满足平稳性要求， 但IMF18的统计量|u|=2.39>1.96， 为非平稳序列， 此时对其进行差分处理， 经检验， 一阶差分后的序列满足平稳性要求。

（2） 白噪声性检验。 利用Q统计量进行白噪声性检验， 结果表明， 各IMF分量的Q值均大于χ20.95（m）（其值为3.744 9×104）， 属于非白噪声序列。

4.2时间序列建模

以EMD后的IMF1分量为例， 其自相关系数和偏自相关系数随延迟步长变化曲线如图6所示。

由图6可以看出， IMF1的自相关系数呈现拖尾性， 偏自相关系数呈现截尾性， 根据表1中的判定准则， 选择AR模型对IMF1分量进行建模。endprint

IMF1分量的AIC和BIC值随延迟步长的变化曲线如图7所示。

由图7可以看出， 模型阶次从1阶增加到2阶时， 曲线斜率最大， AIC和BIC值下降最为明显， 之后变化较为缓慢， 因此选择模型阶次为AR（2）。 对AR（2）模型中的未知参数， 采用时序理论估计法进行估计， 即可得到φ1和φ2。

从而可得IMF1分量的时间序列模型为

x（t）=0.610 1x（t-1）-0.418 5x（t-2）+

a（t） （3）

式中： a（t）服从N（0， 13.685 4）。

对上述模型适用性检验， 其残差序列a（t）的自相关系数和a（t）与x（t）的互相关系数变化曲线如图8所示。

由图8可知， IMF1分量时序模型的残差序列a（t）的自相关系数以及a（t）与x（t）的互相关系数均趋近于零， 说明a（t）序列符合随机白噪声序列的统计特性， 模型通过适用性检验。

4.3数据拟合优化

利用EMD对加速度计随机振动误差序列进行处理， 将振动序列分解为多阶IMF分量和非平稳项序列， 利用时序建模方法对每个IMF分量单独进行建模， 再将各个模型的预测输出与趋势项相叠加， 得到预测序列（t）， 其拟合结果见图9。 同时， 对传统的单纯时序建模方法和基于EMD的时序建模方法的预测误差进行对比， 如图10所示。

由图9～10可以看出， 基于EMD的时间序列模型呈现出和原始序列同样的趋势， 拟合效果较为理想。 通过与传统的单纯时序建模方法的对比能够看出， 基于EMD的时序模型的预测误差显著减小， 且始终保持在合理的范围内， 验证了建模方案的有效性。

在基于EMD的时间序列建模方法中， 预测误差主要是由残差序列a（t）的随机性引起的， 而残差序列为服从正态分布的白噪声序列。 因此， 引入Kalman滤波算法， 对各阶IMF分量时序模型的预测结果进行最优估计， 对比滤波前后预测误差， 如图11所示。

对比传统的单纯时序建模方法、 基于EMD的时间序列分析法与Kalman滤波相结合的时序建模方法， 其预测误差对比如表3所示。

通过对比两种模型的预测误差能够看出， 在EMD的基础上所建的时间序列模型最终预测误差的方差由原单纯时序建模方法的183.863减小至16.605， 明显小于单纯时序建模的预测误差， 拟合误差小于10%和20%的比例也明显提高。 经过Kalman滤波以后， 模型预测误差的方差由16.605减小至7.169， 且误差小于10%和20%的比例进一步提高。 说明基于EMD的时间序列分析法与Kalman滤波相结合的时序建模方法能够有效改善模型的预测误差， 提高加速度计随机振动误差的建模精度， 实现加速度计在实际工作环境中对随机振动误差的实时建模与补偿。

5结束语

本文研究了一种EMD法、 时间序列分析法与Kalman滤波相结合的加速度计随机振动误差建模方法。 通过对石英挠性摆式加速度计进行随机振动试验， 模拟真实振动环境下的加速度输出， 研究其随机振动误差规律。 利用EMD法处理加速度计随机振动误差序列， 并对得到的各个IMF进行时序建模， 引入Kalman滤波算法对模型的预测误差进行了最优估计， 消除了模型中随机误差项对预测结果的影响。 预测结果表明， 基于EMD的时间序列分析法与Kalman滤波相结合的时序建模方法能够很好地实现对加速度计随机振动误差序列的拟合估计， 有效地减小了传统的单纯时序建模的预测误差， 对工程应用中加速度计随机振动误差的建模与实时补偿具有重要的参考价值。

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A Modeling Method for Quartz Flexible Pendulum

Accelerometer Random Vibration Error

Jiao Chenyang1， Wang Xinlong1， Wang Dun 2， Li Qunsheng3， Pan Zhe4

（1. School of Astronautics， Beihang University， Beijing 100191， China；

2. State Key Laboratory of SpaceGround Information Technology， Beijing 100086， China；

3. School of Instrumentation Science and OptoElectronics Engineering， Beihang University， Beijing 100191， China；

4. Beijing Electromechanical Engineering General Design Department， Beijing 100854， China）

Abstract： In order to build an accurate mathematic model of accelerometer random vibration error sepuence， a method combining empirical mode decomposition （EMD）， time series analysis method with Kalman filter is proposed. Aiming at the accelerometer nonstationary sequence error caused by random vibration， the EMD is introduced to separate the nonstationary components from error sequence effectively， and the time series analysis method is used to build the stationary sequence error model. Furthermore， Kalman filter algorithm is introduced to obtain an optimal estimation error sequence. Consequently， an accurate model of accelerometer random vibration error sequence is built， and it can improve the measure accuracy of accelerometer in random vibration environment.

Key words： quartz flexible pendulum accelerometer； random vibration； EMD； time series analysis； Kalman filter

Oppressive jamming will incapacitate its normal function for phased array radar。 for this problem， the basic of polarization mismatch will be used， and isolate the interference source at the receiver， improve the ability of antiinterference. In this paper， a joint beamforming technique for polarization and spatial domain is first proposed， which is derive， which is a problem of secondorder cone programs， to obtain the polarized beam with a null and polarization constraint in desired sidelobe region. Numerical examples are provided to demonstrate the usefulness and effectiveness of the proposed approaches.Polarization； interference rejection； phased array radarendprint