举反例在高中数学教学中的应用

王秀丽+李迅+黄名川

摘 要 教学中有效运用反例教学，可以增加学生对定理、定义、概念的理解和记忆，理解原命题条件的合理性和结论的正确性。反例的理解过程就是一种思维辩证的锻炼过程。本文主要就反例在以下四个个方面进行分析。

关键词 反例 辩证思维 思维发散

中图分类号：G632 文献标识码：A

由于高考的压力，很多学校大都只注重于解题能力的培养，而对于逻辑思维能力的培养会有所欠缺。逻辑思维能力其实是一切理科科目的学习基础，所以数学在高中的基础学科中担任着重要的责任。数学中的一些定理和定义条件繁多，理解起来很抽象。学生的思辨能力很难通过原有的定义、定理建立起来。如果在数学的教学中能够利用反例来教学，可以达到事半功倍的作用；其次在反例和原命题的比较讨论中，学生的逻辑思维能力和创造能力得到了加强。继而可以实现数学教学的最高的目的，即逻辑思维能力的训练。

1反例在公式、定义教学中的应用

很多学生在理解和记忆定义、定理的过程中，大都只记住了定理的结论而忽略了使用条件，这就可能导致学生在解决问题的过程中发生错误。学生在拿到题目时，看到题目的条件和定理很相似沒有过多思考就直接使用了，这就要求老师在教学过程中要对定理的条件加以强调，对相应的条件举出反例就是一个很好的手段。

例如在高中数学的“实数指数幂”中，根式和分数指数幂的互化中，书本上给出这样的定义

由于学生刚刚从初中步入高中学校，学生的抽象思维能力很弱。对于上述含有较多参数的代数式，很多学生从心理上存在抵触。很多学生知道这个公式的含义，但是往往忽略了公式后括号里的使用条件。这就需要老师向学生强化使用的条件，但是往往一言堂的教学课堂并不能使学生充分体会括号内条件的必要性。我给同学们举出了这样的一组反例，并问学生如果运用公式求解下列根式的值对吗？

很多同学认为运用公式求解没有问题，但是也有同学提出疑问：根式的结果应该是个正数为什么最后通过公式运算得到的却是一个负数？同学们在课堂上展开了激烈的讨论。这时老师加以引导学生注意公式后面的括号，学生就会对这个公式的使用条件印象更加深刻，在以后的使用过程中有所注意。

2反例在数学概念教学中的应用

数学的概念就是指学习数学定理、公式、法则的性质，它是作图、计算、解题的前提条件，也是培养学生思维发散的必要条件之一。清晰明确的概念是理解的前提，如果数学概念模糊不清，那么学生在解题过程中就会出现各种错误。因此，熟练掌握数学概念是学好数学的重要条件。学生往往在概念的理解过程中会忽略概念的必要条件，这就要求教师在教学过程中合理使用反例对条件加以强化。例如在双曲线的学习中定义：在平面内有两个定点 F1 和 F2 的距离的和等于一个常数 2a（2a>|F1F2|），那么这个动点 P 的轨迹叫做椭圆。

（1）焦点：F1、F2，焦距：|F1F2|

（2）定义重点：距离和大于|F1F2|

然而很多同学对概念中距离之和大于焦距的条件不太关注，这就需要老师向学生强化此条件。在传统的填鸭式课堂，学生只能通过记忆记住这两个条件，但在实际的解题过程中又会出现遗忘的情况，继而出现解题困难。那么可举这样的一个反例：设点 P 到同一平面内两个点 F1（-4， 0），F2（4， 0）的距离的和为 8，那么点 P 的轨迹是什么呢？学生经过计算后 就会发现点 P 的迹方程却是 y=0 （-4≤x≤4） 所对应的线段，不是椭圆。通过举出的这个反例，学生就会对“距离和的常数须要大于 F1F2”这个条件记忆深刻，以后也会在应用条件时记得考查是否满足这个条件了 。

3反例在数学解题中的应用

在数学的题型解答中，选择题是很常见也很有效的考察方式，对于一些选择题可以运 用举出反例加以验证而不需要通过复杂抽象的逻辑思考，却可以达到简便、快速的解题效果。例如在不等式一节中：

例题：如果 a+b>0，ab>0 则下列结论正确的是（ ）

A. a>0， b>0 B. a>0， b<0 C. a<0， b>0 D. a<0， b<0

学生通过举出反例可以很快排除 B、C、D 的答案，得到 A 是正确的答案，虽然这种举反例的方法很繁琐，但是对于刚进入高中的学生来说，这却是一种很直接有效的解题方法。同时，运用举反例的方法可以快速检验自己的答案是否满足题意的要求。

4反例在逆向思维中的应用

数学是更加注重逻辑思维的学科。如何使学生能够切实感受到逻辑思考的过程，其实就显得很重要和困难。如果能够在日常的数学学习中插入反例，那么就可以达到事半功倍

的作用。例如在数学的《充要条件》一节中：“x > 3”是“x > 2”什么条件？其实问题的关键是由命题“x > 3”到命题“x > 2”的正确性与否以及由命题“x > 2”到命题“x > 3”的正确性，如果学生能够举出反例：2.5 大于 3，但是小于 2 就能够得出相应的结论。虽然这个问题较简单，但是它反应的逻辑思维方式却是逆向、辩证的思维，从中学生也能够感受到数学的思辨能力。

5结语

在高中的教育伊始，学生由于心智发展不够成熟，对抽象的逻辑问题没有自己的思考。对数学的定理和定义理解起来很困难。老师如果能够在数学的教学中合理运用反例教学，并且构造恰当的反例帮助学生理解和记忆概念，那么往往将能够产生出乎意料的效果。学生在这逆向的思维过程中，不但能纯熟驾驭所要学习的数学知识，又能提高自己的逻辑思维能力。充分发挥学生学习的主体性，让学生感受数学的逻辑思考过程，让学习数学成为一种乐趣。

参考文献

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[4] 夏爱桃.浅析“反例教学”在高等数学教学中的应用[J].课程教学，2013（02）.endprint