构造函数法在不等式证明中的应用

广东顺德德胜学校528333 唐国秋

构造函数法在不等式证明中的应用

广东顺德德胜学校528333 唐国秋

构造函数法,是导数中的一个非常重要的方法,在导数中应用非常普遍,它很好地把数学中的各种方法联系起来,比如作差法、放缩法、化归法,也渗透着探索、概括、归纳的思想.能不能构造出一个适宜的函数,往往决定着题目能不能顺利解决,也体现学生的基本功是不是很扎实.本人研究近几年的高考试题,总结几类常见的构造函数的技巧,从而提高学生分析,解决问题的能力.

一、利用作差,构造函数

例1证明：当x＞0时,lnx＜x.

评注函数的不等式问题,应用导数工具的策略是：作差构造函数.这种类型一般都是把式子全部移到不等式的一边,构造辅助函数,利用导数工具研究辅助函数的性质、最值进而得证.

变式练习证明：当x∈(0,π)时,sinx＜x.

简析构造函数f(x)=x-sinx,通过f(x)求导,得y=f(x)在x∈(0,π)单调递增,得最小值f(0)=0,得证.

二、分离变量,构造函数

例2已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.对一切的x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.

解析 ∀x∈(0,+∞),有2xlnx≥-x2+ax-3,则

评注 对于一些含有参数的恒成立问题,可以把参数分离出来,然后把不等式的另一边构造辅助函数,利用导数工具研究辅助函数的最值,求解问题.

三、挖掘相似结构,构造函数

例3已知函数f(x)=ex-ax,其中a＞0,函数f(x)的图像上取定点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),(x1＜x2),记直线AB的斜率为k.证明：存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)=k成立.

证明 由题意知,

令F(t)=et-t-1,则F′(t)=et-1

当 t＜ 0时,F′(t)＜ 0,F(t)单调递减;当 t＞ 0时,F′(t)＞0,F(t)单调递增.故F(t)＞F(0)=0,即

所以φ(x1)＜0,φ(x2)＞0.

因为函数y=φ(x)在区间[x1,x2]上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在x0∈(x1,x2)使φ(x0)=0即f′(x0)=k成立.

评注 本题要……