导数理论与日常生活的关系

向煜韬

【摘要】随着现代社会的发展，越来越多的人接受高等教育，学会了高等数学，而社会的运行也越来越复杂，简单的四则运算和初等函数不再满足社会的额需求，因为更注重的是成本的最优化、经济变量的最大化，在这方面，微积分和导数发挥了重要作用，本文主要探讨导数在日常生活中的应用，运用科学的方法把日常生活的典型问题和经济活动中的典型事件清晰地描述出来，也更方便做出更好的决策。

【关键词】导数 经济变量 日常生活

一、引言

隨着经济的发展和社会的进步，受教育的人越来越多，大学教育也逐渐普及，这为高等数学走入社会、走入人民的生活中奠定了扎实的根基。高等数学的知识是从生活实践中总结出来的，并由数学家发扬光大，挖掘其中的内涵，但是随着数学的发展，知识越来越深入，一般的群众难以掌握这些知识，但是在国家大力倡导的基础上，数学知识还是越来越普及，其中就包括导数这样来源于生活又高于生活的内容，学好导数，可以对生产实践进行有效的指导，对于天文学家、物理学家、数学家来说，导数是基础，对于生产实践管理者和经济学家来说，导数是帮助他们分析问题、做决策的有效工具。比如说，对于工厂的生产部门，必须在成本用料和利润之间找到一个最佳的平衡点，这就涉及到如何安排生产任务才能达到“用料最省”“利润最大”的问题，这类问题时数学中的最值问题，由此可见，数学可以促进生产技术和自然科学的发展，值得深入学习。我国著名数学家华罗庚，就曾经倡导数学应用到生产实践中，他用了多年的努力，在祖国各地推广数学，使得数学这一工具被基层工程师和工人掌握，对我国数学事业的发展起到了不可磨灭的贡献。本文探讨的是导数在实际生活中的应用，将这一知识点与生产实践相结合，以便更好地指导生产实践和经济运行。

二、导数的基本概念

导数是高等数学中的重要知识，是微积分学的基石，由牛顿和莱布尼兹提出，导数和微积分的出现时数学史上里程碑的事件，为数学翻开了崭新的一页，使得数学脱离的基本数学的范畴，并为牛顿力学、爱因斯坦相对论、量子力学等划时代物理学的发展奠定了基础，可以说，没有导数和微积分的出现，就没有现在的世界。导数是从生产实践和科学问题中推导出来的，反映的是一个变量对另一个变量的变化率，设自变量为x，当有增量Δx时，函数y增量Δy也会有变化，当Δx趋于0时，Δy和Δx的比值还存在，则定义为此函数y可导，导数记为f'（x0），公式如下：

■

三、导数在生活中的应用

例1：如图1所示，正方形铁片的边长为60cm，要把它做成一个没有盖的箱子，则需要在正方形的四个角各切去一个正方形，再进行折叠，为了让箱子的容积最大，问箱底的边长应该是多少？此时的最大容积是多少？

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图1 正方形铁片

解：设正方形铁片在切掉四角四个正方形后，箱底边长为x，单位为cm，由图可知，箱子的高度h=60-x2，单位为cm，计算箱子的容积，公式如下：

V（x）=x2h=（60x2-x3）/2

（0

对箱子的容积进行求导，可知

V（x）=60x-3x2

（0

求最大值，即容积的导数为0，则有

V（x）=60x-3x2=0

计算结果如下：x=0或者x=40

由于x的取值范围为（0

所以取x=40为有效值。

带入容积计算公式，可知，

V（40）=16000

由题意，当x接近范围值得边界，即0和60时，箱子的容积不是最大，反而很小，因此可知，x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm。

例2：某公司有100吨的酒存储量，现在一斤4元，明年一斤5元，每年每斤增加1元，库存费每年1万。同时导致资金积压，成本年增加105p·r，r=10%，是利息率为了使得公司利益最大，需要储存多久？

分析：假设储存X年

收入如下

R（x）=2×105x（元）

成本如下

C（x）=90000x+20000x2（元）

利润如下

L（x）=R（x）-C（x）

=110000x-20000x2（元）

边际收入等于收入函数求导，结果为：

R（x）=2×105

边际成本等于成本函数求导，结果为：

C（x）=90000+40000x

为了使得利润最大，R（x）=C（x），计算结果为x=2.75，因此可知，储存2.75年，经济效益最大。

本题计算的额是经济问题，经济问题非常复杂，要想透过表面的数据看本质，必须采用数学的方法对经济变量进行定量的分析。现代经济学家面对的是范围经济，简单的四则运算和初等函数不足以分析范围经济内的诸多经济问题，因此，采用微积分和导数的方法来分析现代经济问题，这样不仅可以计算出精确的数据，而且可以用导数的方法演绎出经济变量的变化趋势，运用数学的方法归纳出经济的走向，从而为决策层提供提供科学的预测和决策思路。例2就是导数在经济学中的应用，为边际问题的分析。现在企业分析经营活动的出发点侧重成本与利润的直接比较，是简单的加减运算，并不科学，本文认为应该用导数的方法，计算经济变量的变化趋势在考虑绝对数分析的基础上，研究经济变量的相对变化率，才能做到把握现实，看准未来。

四、总结

日常生活中，导数作为一种工具，可以很好地应用，在经济学中，导数也被不断拓展应用广度和应用深度，随着社会的的进一步发展，越来越多的人接受高等教育，导数进入社会将成为一个事实。导数将不仅仅应用于成本分析、利润分析、优化分析中，还会在其他经济问题上有更深入的应用。

参考文献

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