图象在追及和相遇问题中的应用

山西

石有山

讲方法，挖模型，提能力。

图象在追及和相遇问题中的应用

石有山

追及和相遇问题是一类常见的运动学问题。用图象来描述两个物理量之间的关系，是物理学中常用的方法，是一种直观且形象的语言和工具。它运用数和形的巧妙结合，恰当地表达各种现象的物理过程和物理规律。相遇问题在位移—时间图象和速度—时间图象中有具体的体现，其他类型的运动图象也可以获取信息解决追及和相遇问题。

一、位移—时间图象

若两物体从同一地点出发，沿同一直线运动，则x-t图象下的交点坐标表示两物体相遇。

图1

【例1】如图1所示，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置—时间(x-t)图线。由图可知

( )

A.在时刻t1，a车追上b车

B.在时刻t2，a、b两车运动方向相反

C.在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加

D.在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大

【解析】由x-t图线分析可知，t1时刻b车追上了a车，A项错误；x-t图线斜率的正负表示运动方向，t2时刻a车沿正方向运动，b车沿负方向运动，B项正确；x-t图线斜率的大小表示速度大小，t1到t2这段时间内曲线b斜率先减小后增加，C项正确、D项错误。

【答案】BC

【点评】在t1时刻x-t图象下两图线相交，是相遇，但b车速度大于a车，b车追上a车，要注意x-t图象的斜率意义。

二、速度—时间图象

图2

若两物体从同一地点出发，沿同一直线运动，则v-t图象与横轴所围面积相等表示两物体相遇。

【例2】甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v-t图象如图2所示。已知两车在t=3 s时并排行驶，则

( )

A.在t=1 s时，甲车在乙车后

B.在t=0时，甲车在乙车前7.5 m

C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2 s

D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m

【答案】BD

【点评】本题属于两车不是从同一地点出发的情景，因此相遇时v-t图象与横轴所围面积的差值表示t=0 s时，甲乙两车的间距。

图3

( )

A.两物体在t1时刻加速度相同

B.两物体在t2时刻运动方向均改变

C.两物体在t3时刻相距最远，t4时刻相遇

D.0～t4时间内甲物体的平均速度等于乙物体的平均速度

【解析】两物体在t1时刻加速度方向相反，A项错误；两物体均做单方向的直线运动，B项错误；两物体在t3时刻速度相等，距离有极值，两物体相距最远，0～t4时间内，两图线与t轴所围面积大小相等，即两物体在t4时刻相遇，C项正确；0～t4时间内两物体位移相等，平均速度相等，D项正确。

【答案】CD

【点评】本题属于两物体从同一地点开始沿同一方向运动的相遇问题，图象与t轴所围面积大小相等，表示两物体相遇，速度相等，即v-t图的交点坐标表示两物体距离有极值。

三、加速度—时间图象

若两物体初始速度相同，在同一直线上运动，则a-t图线下的面积相等表示两物体速度相等，两物体间距有极值。

【例3】甲、乙两车从同一地点沿相同方向由静止开始做直线运动，它们运动的加速度随时间的变化图象如图4所示。关于两车的运动情况，下列说法正确的是( )

图4

A.在0～4 s内甲车做匀加速直线运动，乙车做匀减速直线运动

B.在0～2 s内两车间距逐渐增大，2～4 s内两车间距逐渐减小

C.在t=2 s时甲车速度为3 m/s，乙车速度为4.5 m/s

D.在t=4 s时甲车恰好追上乙车

【答案】C

【点评】由a-t图线下面积相等，再根据初速度相等，可得两车速度相等，能直接得到距离最大的时刻，但不能直接得到相遇的时刻。

四、其他图象

其他类图象不能直接分析相遇和距离极值，但可从图象得到有关信息，分析追及和相遇问题。

【例4】在平直公路上有甲、乙两辆汽车同时从同一位置沿着同一方向做匀加速直线运动，它们速度的平方随位移变化的图象如图5所示，则

( )

图5

A.甲车的加速度比乙车的加速度大

B.在位移x=0.5 m处甲乙两车的速度相等

C.在位移x=0.5 m处甲乙两车相遇

D.在时间t=2 s末甲乙两车相遇

【答案】ABD

【点评】从图象中获取有用信息作为解题的条件，弄清试题中图象所反映的物理过程及规律，从中获取有效信息，利用速度的平方随位移变化图象的斜率表示加速度的2倍是解决问题的关键。

【变式】随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显，分析交通违法事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命。如图6所示为某型号车紧急制动时(假设做匀减速直线运动)的v2-x图象(v为货车的速度，x为制动距离)，其中图线1为满载时符合安全要求的制动图象，图线2为严重超载时的制动图象。某路段限速72 km/h，该型号货车满载时以72 km/h速度正常行驶，发现前方x0=25 m处有一电动自行车以10 m/s的速度匀速同向行驶，驾驶员立即制动，若驾驶员从发现险情到采取紧急制动措施的反应时间为1 s，则:

图6

(1)通过计算说明满载时货车会不会撞上电动自行车；

(2)其他条件不变，通过计算说明严重超载时货车会不会撞上电动自行车。

【解析】(1)由匀变速直线运动的速度位移公式：

2ax=0-v2

由图示图象可得：满载时，加速度为a1=-5 m/s2

严重超载时加速度为a2=-2.5 m/s2

该型号货车满载时以72 km/h=20 m/s速度正常行驶时

匀速位移x1=v0t1=20 m

匀减速到与电动车速度相等时货车经过的时间